Question

Найти радиус и координаты центра окружности заданной уравнением x^2-y^2+6x-8y=0​

Answer 1

Ответ:

Для нахождения радиуса и координат центра окружности, заданной уравнением x^2 - y^2 + 6x - 8y = 0, мы должны преобразовать уравнение в стандартную форму окружности, которая имеет вид (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус.

Сначала проведем необходимые преобразования:

x^2 - y^2 + 6x - 8y = 0

Для завершения квадратного трехчлена по x и y, добавим и вычтем необходимые константы:

(x^2 + 6x + 9) - (y^2 + 8y + 16) - 9 - 16 = 0

Теперь выразим уравнение в стандартной форме:

(x^2 + 6x + 9) - (y^2 + 8y + 16) = 9 + 16

(x + 3)^2 - (y + 4)^2 = 25

Теперь у нас есть уравнение окружности в стандартной форме, где h = -3 (координата x центра), k = -4 (координата y центра), и r^2 = 25, поэтому r = 5.

Таким образом, радиус окружности равен 5, а координаты центра окружности (-3, -4).

Answer 2

Чтобы найти радиус и координаты центра окружности по уравнению, нужно привести уравнение окружности к каноническому виду. Канонический вид уравнения окружности имеет следующий вид:

\[(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2,\]

где \((h, k)\) - координаты центра окружности, \(r\) - радиус окружности.

Для этого давайте приведем данное уравнение к каноническому виду:

\[x^2 - y^2 + 6x - 8y = 0.\]

Группируем члены, связанные с \(x\) и \(y\):

\[(x^2 + 6x) - (y^2 + 8y) = 0.\]

Теперь добавим и вычтем константы, чтобы завершить квадрат:

\[(x^2 + 6x + 9) - 9 - (y^2 + 8y + 16) + 16 = 0.\]

Сгруппируем полные квадраты:

\[(x + 3)^2 - 9 - (y + 4)^2 + 16 = 0.\]

Упростим:

\[(x + 3)^2 - (y + 4)^2 + 7 = 0.\]

Теперь у нас есть уравнение окружности в каноническом виде. Сравниваем его с общим уравнением окружности:

\[(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.\]

Из сравнения видно, что \(h = -3\), \(k = -4\), \(r^2 = 7\).

Теперь найдем радиус (\(r\)). Из уравнения \(r^2 = 7\) получаем, что \(r = \sqrt{7}\).

Таким образом, центр окружности имеет координаты \((-3, -4)\), а её радиус равен \(\sqrt{7}\).