Question

Среднее число узлов сложного устройства, безотказно проработавших время t1 равно N1. Найти вероятность того, что до времени t2 безотказно проработают N2 узлов, если вероятность безотказной работы экспоненциально убывает со временем.

Answer 1

Если вероятность безотказной работы экспоненциально убывает со временем, то она имеет вид: $\tt P(t)=e^{-\lambda t}$, где $\lambda$ — коэффициент интенсивности отказов.

Среднее число узлов сложного устройства, безотказно проработавших время $\tt t_1$, равно $\tt N_1$. Это означает, что вероятность того, что узел безотказно проработает время $\tt t_1$ равна $\tt \dfrac{N_1}{N}$, где $\tt N$ — общее число узлов устройства.

Тогда используя формулу выше, находим $\lambda$

$\tt \dfrac{N_1}{N}=e^{-\lambda t_1}~~~\Rightarrow~~~\lambda =-\dfrac{\ln (N_1/N)}{t_1}$

Теперь, чтобы найти вероятность того, что до времени $\tt t_2$ безотказно проработают $\tt N_2$ узлов, используем биномиальное распределение

$\tt P(N_2)=C^{N_2}_{N}\cdot \left(e^{-\lambda t_2}\right)^{N_2}\cdot \left(1-e^{-\lambda t_2}\right)^{N-N_2}$

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой для вероятности безотказной работы системы с экспоненциальным распределением:

P(N(t) = n) = e^(-λt) * (λt)^n / n!

Где N(t) - число узлов в работоспособном состоянии в момент времени t, λ - параметр экспоненциального распределения, t - время, n - количество узлов.

Так как вероятность безотказной работы убывает экспоненциально, то мы можем использовать данную формулу для нахождения вероятности того, что до времени t2 безотказно проработают N2 узлов:

P(N(t2) = N2) = e^(-λt2) * (λt2)^N2 / N2!

Где N(t2) - число узлов в работоспособном состоянии в момент времени t2.

Таким образом, мы можем найти вероятность того, что до времени t2 безотказно проработают N2 узлов, используя данную формулу и параметры задачи.