Question

Sin^23x + cos^2x =1Решите уравнение​

Answer 1

$\sin( 3\alpha ) = - 4 \sin^{3} ( \alpha ) + 3 \sin( \alpha )$

$\sin^{2} ( \alpha ) + { \cos}^{2} ( \alpha ) = 1$

Перепишем уравнение:

$(- 4 \sin^{3} ( x) + 3 \sin( x ) )^{2} + \cos^{2} ( x) - 1 = 0$

$16 \sin^{6} ( x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 1 = 0$

$16 \sin^{6} ( x) - 24 \sin^{4} (x) + 8 \sin^{2} (x) = 0$

разложим на множители:

$8({ \sin}^{2} (x))({2 \sin}^{2} (x) - 1)({ \sin}^{2} (x) - 1)=0$

так как 8 это константа >0, на неё можно разделить без потери корней. Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi \: n \\ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi \: m}{2} \\ x = \pi \: l$

в каждой серии можно использовать одинаковую целочисленную переменную, однако верхняя запись считается хорошим тоном

объединяем 3 серии корней в 1 серию корней:

$x = \frac{\pi \: k}{4}$

везде: (n;m;l;k) ∈ Z

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

sin²3x + cos²x  =  1 ;       за формулами пониження степеня маємо :

( 1 - сos6x )/2 + ( 1 + cos2x )/2 = 1 ; │x2

 1 - сos6x + 1 + cos2x  = 2 ;

  cos6x - cos2x = 0 ;

  -2 sin4xsin2x = 0 ;

sin4x = 0 ;                        або                  sin2x = 0 ;

    4x = πn ;                                                   2x = πm ;

      x = πn/4 ,  nЄ Z  ;                                        x= πm/2 , nЄ Z .

Всі корені із 2-ої множини розв"язків входять у першу множину розв"язків .

В - дь :   πn/4 ,  nЄ Z .

Answer 3

Для решения уравнения sin^2(3x) + cos^2(x) = 1, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Сначала, мы знаем следующие тригонометрические тождества:

1. sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (тождество Пифагора) 2. sin(2x) = 2sin(x)cos(x) 3. cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Давайте преобразуем уравнение:

sin^2(3x) + cos^2(x) = 1

Теперь используем тождество Пифагора для замены cos^2(x):

sin^2(3x) + (1 - sin^2(x)) = 1

Теперь раскроем скобки:

sin^2(3x) + 1 - sin^2(x) = 1

Затем выразим sin^2(3x) через sin^2(x) с использованием тождества sin(2x):

sin^2(x)cos^2(3x) + 1 - sin^2(x) = 1

Теперь выразим cos^2(3x) через 1 - sin^2(3x), используя тождество Пифагора:

sin^2(x)(1 - sin^2(3x)) + 1 - sin^2(x) = 1

Раскроем скобки:

sin^2(x) - sin^2(x)sin^2(3x) + 1 - sin^2(x) = 1

Теперь выразим sin^2(x) за скобки:

sin^2(x) - sin^2(x)sin^2(3x) + 1 - sin^2(x) = 1

sin^2(x)(1 - sin^2(3x)) + 1 - sin^2(x) = 1

Теперь у нас есть уравнение:

sin^2(x)(1 - sin^2(3x)) + 1 - sin^2(x) = 1

1 - sin^2(3x) = 0

Теперь решим это уравнение:

sin^2(3x) = 1

Для нахождения решений этого уравнения, мы заметим, что sin^2(3x) не может быть больше 1, поэтому sin^2(3x) = 1 означает, что sin(3x) = ±1.

Теперь найдем все значения x, удовлетворяющие уравнению sin(3x) = 1 и sin(3x) = -1.

1. sin(3x) = 1: Это означает, что 3x = π/2 + 2πn, где n - целое число. Теперь разделим обе стороны на 3: x = (π/2 + 2πn) / 3.

2. sin(3x) = -1: Это означает, что 3x = -π/2 + 2πn, где n - целое число. Также разделим обе стороны на 3: x = (-π/2 + 2πn) / 3.

Таким образом, уравнение sin^2(3x) + cos^2(x) = 1 имеет бесконечно много решений, и они выражаются в виде x = (π/2 + 2πn) / 3 и x = (-π/2 + 2πn) / 3, где n - целое число.