Question

Помогите!!! найти частные производные функции: z=e ^sin x/y

Answer 1

Ответ:

$z = {e}^{ \sin( \frac{x}{y} ) }$

$Z'x = {e}^{ \sin( \frac{x}{y} ) } \cos( \frac{x}{y} ) \times \frac{1}{y}$

$Z'y = {e}^{ \sin( \frac{x}{y} ) } \cos( \frac{x}{y} ) \times x \times ( {y}^{ - 1} )' = \\ = {e}^{ \sin( \frac{x}{y} ) } \cos( \frac{x}{y} ) \times ( - x {y}^{ - 2} ) = \\ = - \frac{x}{ {y}^{2} } {e}^{ \sin( \frac{x}{y} ) } \cos( \frac{x}{y} )$

Answer 2

Для нахождения частных производных функции \(z = e^{\sin(x/y)}\), мы будем использовать правила дифференцирования. У нас есть две независимых переменных \(x\) и \(y\), поэтому нам нужно найти две частные производные: \(\frac{\partial z}{\partial x}\) и \(\frac{\partial z}{\partial y}\).

1. Начнем с нахождения \(\frac{\partial z}{\partial x}\):

Для этого применим правило цепной дифференциации. Первым шагом найдем производную внутренней функции \(\sin(x/y)\) по отношению к \(x\), а затем умножим ее на производную внешней функции \(e^u\), где \(u = \sin(x/y)\).

Производная внутренней функции: \(\frac{\partial}{\partial x} \sin(x/y)\)

Для нахождения этой производной, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции. Обозначим \(u = x/y\), тогда:

\(\frac{\partial}{\partial x} \sin(x/y) = \frac{\partial}{\partial u} \sin(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x}\)

Производная \(\sin(u)\) по \(u\) равна \(\cos(u\), а производная \(u = x/y\) по \(x\) равна \(1/y\). Таким образом, мы получаем:

\(\frac{\partial}{\partial x} \sin(x/y) = \cos(x/y) \cdot \frac{1}{y}\)

Теперь у нас есть производная внутренней функции по \(x\). Теперь умножим ее на производную внешней функции \(e^u\), где \(u = \sin(x/y)\):

\(\frac{\partial z}{\partial x} = e^{\sin(x/y)} \cdot \cos(x/y) \cdot \frac{1}{y}\)

2. Теперь найдем \(\frac{\partial z}{\partial y}\):

Для этого снова применим правило цепной дифференциации, но на этот раз найдем производную внутренней функции \(\sin(x/y)\) по отношению к \(y\).

\(\frac{\partial}{\partial y} \sin(x/y)\)

Используя правило дифференцирования сложной функции, опять обозначим \(u = x/y\), тогда:

\(\frac{\partial}{\partial y} \sin(x/y) = \frac{\partial}{\partial u} \sin(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial y}\)

Производная \(\sin(u)\) по \(u\) равна \(\cos(u)\), а производная \(u = x/y\) по \(y\) равна \(-x/y^2\). Таким образом, мы получаем:

\(\frac{\partial}{\partial y} \sin(x/y) = \cos(x/y) \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right)\)

Теперь у нас есть производная внутренней функции по \(y\). Теперь умножим ее на производную внешней функции \(e^u\), где \(u = \sin(x/y)\):

\(\frac{\partial z}{\partial y} = e^{\sin(x/y)} \cdot \cos(x/y) \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right)\)

Таким образом, вы найдете частные производные функции \(z = e^{\sin(x/y)}\):

\(\frac{\partial z}{\partial x} = e^{\sin(x/y)} \cdot \cos(x/y) \cdot \frac{1}{y}\)

\(\frac{\partial z}{\partial y} = e^{\sin(x/y)} \cdot \cos(x/y) \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right)\)

Эти выражения представляют частные производные функции \(z\) по переменным \(x\) и \(y\).