Question

Вычислить частные производные первого порядка: 1) 2) Вычислить частные производные первого и второго порядка: 1) 2) Вычислить частные производные первого порядка:

Answer 1

Ответ:

$1)z = x - y$

$Z'x = 1$

$Z'y = - 1$

$2)z = ax {e}^{ - t} + bt$

$Z'x = a {e}^{ - t}$

$Z't = - ax {e}^{ - t} + b$

___________________

$1)z = {x}^{2} + {y}^{2} + xy - 4x - 5y$

$Z'x = 2x + y - 4$

$Z'y = 2y + x - 5$

$Z''xx = 2$

$Z''yy = 2$

$Z''xy = 1$

$2)z = xy(1 - x - y) = \\ = xy - {x}^{2} y - x {y}^{2}$

$Z'x = y - 2xy - {y}^{2}$

$Z'y = x - {x}^{2} - 2xy$

Answer 2

Частные производные функции двух переменных представляют собой производные функции одной переменной, при условии, что другая переменная считается константой .

Чтобы вычислить частные производные первого порядка, следуйте этим шагам:

1. Запишите функцию в скобки под штрихом с подстрочным индексом. Подстрочные индексы не теряются по ходу решения. 2. Используйте правила дифференцирования и таблицу производных элементарных функций.

Пример:

f(x, y) = x^2 * y^3

Частная производная по `x` (f_x):

f_x = ∂/∂x [x^2 * y^3] = 2x * y^3

Частная производная по `y` (f_y):

f_y = ∂/∂y [x^2 * y^3] = 3x^2 * y^2

Частные производные второго порядка находятся дифференцированием производных первого порядка .

Пример:

f(x, y) = x^2 * y^3

Частная производная второго порядка по `x` (f_xx):

f_xx = ∂/∂x [2x * y^3] = 2 * y^3

Частная производная второго порядка по `y` (f_yy):

f_yy = ∂/∂y [3x^2 * y^2] = 6x^2 * y

Обратите внимание, что при нахождении частных производных второго порядка, первая производная считается константой.