Question

Таня написала на доске число 25, а Тоня написала 50. Таня каждую минуту увеличивает своё число на 14 и записывает результат на доску, а Тоня каждую минуту увеличивает своё число на 39 и тоже записывает результат на доску. Каким будет наименьшее число, которое на доске напишет как Таня, так и Тоня, возможно не одновременно?

Answer 1

Пусть через х минут у Тани получится такое же число, которое у Тони получится через у минут, тогда искомое число имеет вид

у Тани    $25+14x$

у Тони    $50+39y$

ОДЗ:  $x$ ∈ $N;$   $y$ ∈ $N$

Уравнение

$25+14x=50+39y$

$14x=50+39y-25$

$14x=25+39y$

$14x=(14+11)+(28y+11y)$

$14x=14+28y+(11+11y)$

$14x:14=(14+28y+(11+11y)):14$

$x=1+2y+\frac{11*(1+y)}{14}$

Дробь $\frac{11*(1+y)}{14}$ будет выражена натуральным числом при

$1+y=14$

$y=13$

$x=1+2*13+\frac{11*(1+13)}{14}=1+26+11=38$

Искомое число:

25 + 14 · 38 = 557  у Тани через 38 минут

50 + 39 · 13 = 557  у Тони через 13 минут

Ответ: 557

Answer 2

Давайте рассмотрим, как будут изменяться числа на доске с течением времени.

Изначально Таня написала 25, а Тоня написала 50. Теперь будем рассматривать, как они будут увеличивать свои числа с течением времени.

Таня каждую минуту увеличивает своё число на 14: - Первая минута: 25 + 14 = 39 - Вторая минута: 39 + 14 = 53 - Третья минута: 53 + 14 = 67 - И так далее.

Тоня каждую минуту увеличивает своё число на 39: - Первая минута: 50 + 39 = 89 - Вторая минута: 89 + 39 = 128 - Третья минута: 128 + 39 = 167 - И так далее.

Теперь нам нужно найти наименьшее общее число, которое и Таня, и Тоня записали на доске. Мы видим, что наименьшее общее число, которое и Таня, и Тоня могут записать на доске, не одновременно, будет наименьшим общим кратным их чисел.

Наименьшее общее кратное чисел 14 и 39 равно 546. Это означает, что первое общее число, которое и Таня, и Тоня могут записать на доске, будет 546.

Таким образом, наименьшее число, которое и Таня, и Тоня могут записать на доске, возможно не одновременно, равно 546.