Question

Даны вершины треугольника ABC A(8;1) B(-8;-11) C(-1;13) Сделать чертёж и найти: 1)Длину и уравнения стороны BC 2)уравнение и длину высоты AD 3)Уравнение медианы CM 4)Уравнение биссектрисы BN

Answer 1

1) Координаты векторов

Координаты векторов находим по формуле:

X = xj - xi; Y = yj - yi

здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj

Например, для вектора AB

X = x2 - x1; Y = y2 - y1

X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3

AB(-1;-3)

AC(-3;-1)

BC(-2;2)

2) Модули векторов

Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между прямыми

Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:

где a1a2 = X1X2 + Y1Y2

Найдем угол между сторонами AB и AC

γ = arccos(0.6) = 53.130

4) Проекция вектора

Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:

Найдем проекцию вектора AB на вектор AC

5) Площадь треугольника

Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.

Решение. Принимая A за первую вершину, находим:

По формуле получаем:

6) Деление отрезка в данном отношении

Радиус-вектор r точки A, делящий отрезок AB в отношении AA:AB = m1:m2, определяется формулой:

Координаты точки А находятся по формулам:

Уравнение медианы треугольника

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

M(0;-1)

Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;1) и М(0;-1), поэтому:

или

или

y = x  -1 или y -x +1 = 0

7) Уравнение прямой

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

или

или

y = 3x  -5 или y -3x +5 = 0

Уравнение прямой AC

или

или

y = 1/3x + 1/3 или 3y -x - 1 = 0

Уравнение прямой BC

или

или

y = -x  -1 или y + x +1 = 0

8) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A

Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой A(2;1) и прямой BC (y + x +1 = 0)

9) Уравнение высоты через вершину C

Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB.

Уравнение AB: y = 3x  -5, т.е. k1 = 3

Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.

Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим :

3k = -1, откуда k = -1/3

Так как перпендикуляр проходит через точку C(-1,0) и имеет k = -1/3,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).

Подставляя x0 = -1, k = -1/3, y0 = 0 получим:

y-0 = -1/3(x-(-1))

или

y = -1/3x - 1/3

Уравнение биссектрисы треугольника

Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим М.

Воспользуемся формулой:

Уравнение AB: y -3x +5 = 0, уравнение AC: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 530

Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол NAK ≈ 26.50

Тангенс угла наклона AB равен 3 (т.к. y -3x +5 = 0). Угол наклона равен 72

^NKA≈ 1800 - 720 = 1080

^ANK ≈ 1800 - (1080 + 26.50) ≈ 45.50

tg(45.50) = 1

Биссектриса проходит через точку A(2,1), используя формулу, имеем:

y - y0 = k(x - x0)

y - 1 = 1(x - 2)

или

y = x -1

Answer 2

1) Длина стороны BC: Для нахождения длины стороны BC можно воспользоваться формулой расстояния между двумя точками в пространстве:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек B(-8, -11) и C(-1, 13) соответственно.

Подставим значения в формулу:

d = √((-1 - (-8))^2 + (13 - (-11))^2) = √((7)^2 + (24)^2) = √(49 + 576) = √(625) = 25

Таким образом, длина стороны BC равна 25.

2) Уравнение и длина высоты AD: Высота AD - это отрезок, проведенный из вершины A перпендикулярно стороне BC и проходящий через середину стороны BC. Для нахождения уравнения и длины высоты AD, нужно найти координаты середины стороны BC и использовать их для составления уравнения прямой, проходящей через вершину A и середину стороны BC.

Координаты середины стороны BC можно найти по формулам: x = (x1 + x2) / 2 y = (y1 + y2) / 2

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек B(-8, -11) и C(-1, 13) соответственно.

Подставим значения:

x = (-8 + (-1)) / 2 = -9 / 2 = -4.5

y = (-11 + 13) / 2 = 2 / 2 = 1

Таким образом, координаты середины стороны BC равны (-4.5, 1).

Теперь можем составить уравнение прямой, проходящей через вершину A(8, 1) и середину стороны BC (-4.5, 1) с помощью уравнения прямой в общем виде:

y - y1 = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1)

Подставим значения:

y - 1 = ((1 - 1) / (-4.5 - 8)) * (x - 8) = (0 / (-12.5)) * (x - 8) = 0

Таким образом, уравнение высоты AD имеет вид y = 1.

Длина высоты AD равна расстоянию между вершиной A(8, 1) и серединой стороны BC (-4.5, 1). Используя формулу расстояния между двумя точками, получим:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-4.5 - 8)^2 + (1 - 1)^2) = √((-12.5)^2 + 0^2) = √(156.25) = 12.5

Таким образом, длина высоты AD равна 12.5.

3) Уравнение медианы CM: Медиана CM - это отрезок, проведенный из вершины C до середины стороны AB. Для нахождения уравнения медианы CM, нужно найти координаты середины стороны AB и использовать их для составления уравнения прямой, проходящей через вершину C и середину стороны AB.

Координаты середины стороны AB можно найти по формулам: x = (x1 + x2) / 2 y = (y1 + y2) / 2

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A(8, 1) и B(-8, -11) соответственно.

Подставим значения:

x = (8 + (-8)) / 2 = 0 / 2 = 0

y = (1 + (-11)) / 2 = (-10) / 2 = -5

Таким образом, координаты середины стороны AB равны (0, -5).

Теперь можем составить уравнение прямой, проходящей через вершину C(-1, 13) и середину стороны AB (0, -5) с помощью уравнения прямой в общем виде:

y - y1 = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1)

Подставим значения:

y - 13 = ((-5 - 13) / (0 - (-1))) * (x - (-1)) = (-18 / 1) * (x + 1) = -18x - 18

Таким образом, уравнение медианы CM имеет вид y = -18x - 5.

4) Уравнение биссектрисы BN: Биссектриса BN - это прямая, которая делит угол ABC пополам и проходит через вершину B(-8, -11). Для нахождения уравнения биссектрисы BN, нужно найти уравнение прямой, проходящей через вершину B и точку пересечения двух сторон AB и BC.

Для начала, найдем координаты точки пересечения двух сторон AB и BC. Для этого, составим систему уравнений прямых AB и BC и решим ее:

Уравнение прямой AB: y - y1 = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1)

Подставим значения:

y - 1 = ((-11 - 1) / (-8 - 8)) * (x - 8) = (-12 / (-16)) * (x - 8) = (3 / 4) * (x - 8) = (3/4)x - 6

Уравнение прямой BC: y - y1 = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1)

Подставим значения:

y - (-11) = ((13 - (-11)) / (-1 - (-8))) * (x - (-8)) = (24 / 7) * (x + 8) = (24/7)x + 24

Теперь решим систему уравнений методом подстановки:

(3/4)x - 6 = (24/7)x + 24

Упростим уравнение:

(3/4)x - (24/7)x = 30

(21/28)x - (96/28)x = 30

(-75/28)x = 30

x = (30 * 28) / -75 x ≈ -11.2

Подставим найденное значение x в уравнение прямой AB:

y = (3/4)x - 6 y = (3/4)(-11.2) - 6 y ≈ -9.6

Таким образом, точка пересечения сторон AB и BC имеет координаты (-11.2, -9.6).

Теперь можем составить уравнение прямой, проходящей через вершину B(-8, -11) и точку пересечения сторон AB и BC (-11.2, -9.6) с помощью уравнения прямой в общем виде:

y - y1 = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1)

Подставим значения:

y - (-11) = ((-9.6 - (-11)) / (-11.2 - (-8))) * (x - (-8)) = (1.4 / (-3.2)) * (x + 8) = (-7/16)x + 77/8

Таким образом, уравнение биссектрисы BN имеет вид y = (-7/16)x + 77/8.