Question

Даны множества c={ (x, y) : (x+1)² + x (y-1)² = r² } , z= [ z : 0 ≤ z ≤ 1] c × z определить боковую поверхность цилиндра буду очень благодарна

Answer 1

Дано множество C, заданное уравнением окружности (x+1)² + x + (y-1)² = r², и множество Z = {z : 0 ≤ z ≤ 1}. Нам нужно определить боковую поверхность цилиндра, образованного множеством C, умноженным на множество Z.

Боковая поверхность цилиндра состоит из окружностей, которые представляют собой сечение цилиндра плоскостями, параллельными его основанию. Поскольку мы умножаем множество C на множество Z, каждая окружность будет домножаться на каждое значение z из множества Z.

Таким образом, для каждого значения z из множества Z, мы должны решить уравнение окружности с учетом значения z.

Выпишем уравнение окружности:

(x+1)² + x + (y-1)² = r²

Для определенного значения z, рассмотрим выражение (x+1)² + x + (y-1)² = r² * z. Это уравнение окружности в трехмерном пространстве, где r² * z - это радиус окружности.

Для каждого значения z из множества Z, решим это уравнение и найдем окружности, которые образуют боковую поверхность цилиндра.

Будет полезно представить уравнение окружности в нормальной форме:

(x - h)² + (y - k)² = r²,

где (h, k) - координаты центра окружности, r - радиус.

Теперь перепишем наше уравнение окружности в этой форме:

(x+1)² + x + (y-1)² = r² * z.

Раскрываем квадраты и приравниваем к нулю:

x² + 2x + 1 + x + y² - 2y + 1 = r²z.

Объединяя похожие члены, получаем:

x² + 3x + y² - 2y + 2 = r²z.

Теперь сгруппируем члены, содержащие переменные x и y:

(x² + 3x) + (y² - 2y) + 2 = r²z.

Для упрощения уравнения, добавим и вычтем некоторые значения:

(x² + 3x + 9/4) + (y² - 2y + 1) + 2 - 9/4 = r²z.

(x + 3/2)² + (y - 1)² - 9/4 + 8/4 - 9/4 = r²z.

(x + 3/2)² + (y - 1)² - 10/4 = r²z.

Теперь приведем часть выражения в левой части к нормальной форме:

(x + 3/2)² + (y - 1)² = r²z + 10/4,

(x + 3/2)² + (y - 1)² = r²/4 * (4z + 10).

Теперь мы можем записать уравнение окружности в нормальной форме:

(x - (-3/2))² + (y - 1)² = (r/2)² * (2z + 5).

Итак, у нас получилось уравнение семейства окружностей, параметризованное переменной z.

Для каждого значения z из множества Z, мы можем решить это уравнение и получить окружность, которая является сечением цилиндра при данном значении z.

Таким образом, боковая поверхность цилиндра будет состоять из совокупности окружностей, полученных при каждом значении z из множества Z.