Question

Вычислите значения остальных тригонометрических функций, если cos⁡ α=-3/5 и π/2<α< π​

Answer 1

$cos\alpha = - \frac{3}{5}$ ; α∈ ( $\frac{\pi} {2} ; \pi$ )

sin α, tg α, ctg α - ?

___________________ ______________________________________

Т.к. α∈( $\frac{\pi} {2} ; \pi$ ) ⇒ все функции кроме sin α будут отрицательными

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _

Из основного тригонометрического тождества sin²α + cos²α = 1 выразим sin α

sin α  = √1-cos²α

$sin\alpha = \sqrt{1-(-\frac{3}{5})^{2} } = \sqrt{\frac{25-9}{25} } = \sqrt{\frac{16}{25} } =\frac{4 }{5}$

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

$tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$

$tg\alpha = \frac{4}{5} : (-\frac{3}{5}) = \frac{4}{5} * (-\frac{5}{3}) = - \frac{4}{3}$

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

$ctg\alpha = (tg\alpha )^{-1}$

$ctg\alpha = (-\frac{4}{3} )^{-1} = -\frac{3}{4}$

______________________________________

Ответ: $sin\alpha =\frac{4 }{5}$ , $tg\alpha = - \frac{4}{3}$ , $ctg\alpha = -\frac{3}{4}$

Answer 2

Для вычисления остальных тригонометрических функций (синуса, тангенса, косеканса, котангенса) угла α, при условии, что cos(α) = -3/5 и угол находится во втором квадранте (π/2 < α < π), мы можем использовать тригонометрические тождества и информацию о знаках функций в различных квадрантах.

1. Сначала найдем синус α: Во втором квадранте синус положителен, и мы знаем, что: sin^2(α) + cos^2(α) = 1. sin^2(α) + (-3/5)^2 = 1. sin^2(α) + 9/25 = 1. sin^2(α) = 1 - 9/25. sin^2(α) = 16/25. sin(α) = ±4/5.

Так как α находится во втором квадранте, sin(α) положителен, поэтому: sin(α) = 4/5.

2. Теперь вычислим тангенс α: tan(α) = sin(α) / cos(α). tan(α) = (4/5) / (-3/5) = -4/3.

3. Затем найдем косеканс α, который обратно пропорционален синусу: csc(α) = 1 / sin(α). csc(α) = 1 / (4/5) = 5/4.

4. И, наконец, вычислим котангенс α, который обратно пропорционален тангенсу: cot(α) = 1 / tan(α). cot(α) = 1 / (-4/3) = -3/4.

Итак, значения остальных тригонометрических функций угла α, при условии, что cos(α) = -3/5 и α находится во втором квадранте (π/2 < α < π), равны:

- sin(α) = 4/5 - tan(α) = -4/3 - csc(α) = 5/4 - cot(α) = -3/4.