Question

В среднем 5% студентов факультета ИТ сдают экзамен по высшей математике на "отлично". Найти вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов этого факультета сдадут экзамен по математике на "отлично": а) два студента б)не менее пяти студентов(ответ округлить до тысячных)

Answer 1

Для больших n = 100 нужно применить локальную теорему Лапласа

p = 5%/100% = 0,05

q = 1 - p = 0,95

x = (k - np) / √[npq] ≈ -1,376

Вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов этого факультета сдадут экзамен по математике на "отлично" два студента

$P=\dfrac{\varphi (x)}{\sqrt{npq}}=\dfrac{\varphi(-1{,}376)}{\sqrt{100\cdot 0{,}05\cdot 0{,}95}}\approx 0{,}071$

б) Здесь воспользуемся интегральной теоремой Лапласа

$x_1=\dfrac{k_1-np}{\sqrt{npq}}=\dfrac{5-100\cdot 0{,}05}{\sqrt{100\cdot 0{,}05\cdot 0{,}95}}=0\\ \\ x_2=\dfrac{k_2-np}{\sqrt{npq}}=\dfrac{100-100\cdot 0{,}05}{\sqrt{100\cdot 0{,}05\cdot 0{,}95}}\approx 43{,}59$

Вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов этого факультета сдадут экзамен по математике на "отлично" не менее пяти студентов:

$P=\Phi(43{,}59)-\Phi(0)\approx 0{,}500$

Answer 2

Я попробую ответить на ваш вопрос.

Ваша задача связана с биномиальным распределением, которое описывает вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие произойдет k раз, при условии, что вероятность события в каждом испытании постоянна и равна p. Формула для вычисления такой вероятности имеет вид:

$$P(X=k) = {n \\choose k} p^k (1-p)^{n-k}$$

В вашем случае n = 100, p = 0.05 и X - это число студентов, сдавших экзамен по математике на "отлично". Тогда:

а) вероятность того, что два студента сдадут экзамен на "отлично" равна:

$$P(X=2) = {100 \\choose 2} 0.05^2 (1-0.05)^{100-2} \\approx 0.082$$

б) вероятность того, что не менее пяти студентов сдадут экзамен на "отлично" равна:

$$P(X\\geq 5) = 1 - P(X<5) = 1 - \\sum_{k=0}^{4} P(X=k) \\approx 0.265$$

Для более подробной информации о биномиальном распределении вы можете посмотреть следующие источники: [Википедия](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5), [Математика](http://mathprofi.ru/binomialnoe_raspredelenie_veroyatnostei.html), [Fandom](https://math.fandom.com/ru/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5), [Machine Learning](http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5). Надеюсь, это поможет вам решить вашу задачу.