Question

Вычислить интеграл Лебега если он существует f(x)=x/sqrt(1-x^2) , E=[-1;1]

Answer 1

Подынтегральная функция нечетная так как f(x)=f(-x).

Покажем это.

$f(-x)= \frac{-x}{ \sqrt{1-(-x)^2}}$

$f(-x)= -\frac{x}{ \sqrt{1-x^2}}$

$-f(x)= -\frac{x}{ \sqrt{1-x^2} }$

$f(-x)=-f(x)$

Заметим, что f(x) интегрируема по Лебегу. Так как особенность в точках -1 и 1. Не более единицы. То есть размерность 0,5. Значит эта функция будет интегрируема по Лебегу. 

Так как интервал симметричный [-1; 1]. Функция подынтегральная нечетная, то сам интеграл равен 0.

Ответ: интеграл равен 0.

Answer 2

Для того чтобы вычислить интеграл Лебега, нам нужно сначала проверить существование этого интеграла.

Функция f(x) = x/√(1-x^2) определена на отрезке [-1,1], но она имеет особенность при x = ±1, поскольку знаменатель равен нулю. Поэтому нам нужно проверить, является ли функция ограниченной и интегрируемой на этом отрезке.

Для определения ограниченности, мы можем взять максимум и минимум функции на отрезке [-1,1].

f'(x) = (1-x^2)'(-1/(2√(1-x^2))+x(2x/2√(1-x^2))) = (-1-x^2)/(2(1-x^2)^(3/2)) + x^2/√(1-x^2) = (-1-x^2 + 2x^2)/(2(1-x^2)^(3/2)) = (x^2 - 1)/(2(1-x^2)^(3/2))

f'(x) = 0 при x = ±1

Из производной мы можем видеть, что на отрезке [-1,1] функция имеет локальные минимумы в x = -1 и x = 1. Мы также можем заметить, что функция неограничена, так как при x → ±1, f(x) → ±∞.

Таким образом, функция f(x) не является ограниченной на отрезке [-1,1], и, следовательно, не является интегрируемой по Лебегу на этом отрезке.

Итак, интеграл Лебега для функции f(x) = x/√(1-x^2), на отрезке [-1,1], не существует.