Question

Составить уравнение касательной к графику функции f(x)=x²+3x+1 в точке M(1;5)

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции f(x) = x² + 3x + 1 в точке M(1;5), нам понадобятся две важные величины: значение функции в точке M и значение её производной в этой точке.

1. Найдем значение функции f(x) в точке M(1;5): f(1) = 1² + 3*1 + 1 = 1 + 3 + 1 = 5.

2. Теперь найдем производную функции f(x), которая представляет наклон касательной в каждой точке: f'(x) = d/dx (x² + 3x + 1).

Для нахождения производной используем правила дифференцирования: f'(x) = 2x + 3.

3. Теперь подставим значение x = 1 в производную, чтобы найти наклон касательной в точке M: f'(1) = 2*1 + 3 = 2 + 3 = 5.

Таким образом, наклон касательной к графику функции f(x) в точке M(1;5) равен 5.

4. Уравнение касательной имеет следующий вид: y - y₁ = m(x - x₁),

где (x₁, y₁) - координаты точки M(1;5), а m - наклон касательной.

Подставляем значения: y - 5 = 5(x - 1).

5. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду (уравнение прямой): y - 5 = 5x - 5.

6. Упростим уравнение: y = 5x.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = x² + 3x + 1 в точке M(1;5) имеет вид y = 5x.