Question

7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2sinx; x=0; x=π/2 y=0

Answer 1

Ответ:

Для знаходження площі фігури, обмеженої кривими y = 2sinx, x = 0, x = π/2 та y = 0, необхідно обчислити інтеграл від модуля функції y = 2sinx на відрізку [0, π/2]:

S = ∫[0,π/2]|2sinx|dx

Оскільки функція 2sinx на відрізку [0, π/2] є додатною, то можна спростити інтеграл:

S = ∫[0,π/2]2sinxdx = [-2cosx]_0^(π/2) = 2

Отже, площа фігури, обмеженої кривими y = 2sinx, x = 0, x = π/2 та y = 0

Answer 2

Даны следующие уравнения ограничивающих линий: 1) y = 2sin(x) 2) x = 0 3) x = π/2 4) y = 0

Для нахождения площади фигуры, ограниченной этими линиями, необходимо найти границы интегрирования по x и y.

Границы интегрирования по x определяются уравнениями, которые ограничивают область по оси x. В данном случае это x = 0 и x = π/2.

Границы интегрирования по y определяются уравнениями, которые ограничивают область по оси y. В данном случае это y = 0 и y = 2sin(x).

Используем эти границы интегрирования для перехода к двойному интегралу:

S = ∫∫R dx dy,

где R - область в плоскости (x, y), ограниченная заданными линиями.

Теперь найдем пределы интегрирования. Поскольку уравнение y = 2sin(x) определяет верхнюю границу по y, пределы интегрирования по y будут от 0 до 2sin(x). Пределы интегрирования по x остаются без изменений и равны 0 и π/2.

Таким образом, двойной интеграл для нахождения площади фигуры R имеет вид:

S = ∫[0, π/2]∫[0, 2sin(x)] dx dy.

Произведем интегрирование:

S = ∫[0, π/2] (2sin(x)) dx = -2cos(x)|[0, π/2] = -2cos(π/2) - (-2cos(0)) = -2(0 - (-2)) = -2(2) = -4.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2sin(x), x = 0, x = π/2 и y = 0, равна 4.