Question

1.Найти площадь фигуры,ограниченной линиями y=x^3+4,y=-2x^2+2,y=0,x=1,6 2.Найти площадь фигуры,ограниченной линиями y=корень из х-1, х=0, y=0, x=4

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Требуется вычислить площадь, заключенную между параболой y=x^2-2 и прямой y=2x+1.

Найдем точки пересечения параболы и прямой:

\[\left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} - 2\\y = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 1 = {x^2} - 2\\y = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 1 - {x^2} + 2 = 0\\y = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 2x + 3 = 0\\y = 2x + 1\end{array} \right.\]% MathType!End!2!1!

- {x^2} + 2x + 3=0

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = {b^2} - 4a = {2^2} - 4( - 1)*3 = 4 + 12 = 16

{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}

{x_1} = \frac{{ - 2 - \sqrt {16} }}{{2*( - 1)}} = \frac{{ - 2 - 4}}{{ - 2}} = \frac{{ - 6}}{{ - 2}} = 3

{x_2} = \frac{{ - 2 + \sqrt {16} }}{{2*( -1)}} = \frac{{-2+ 4}}{{- 2}} = \frac{2}{{-2}} =-1

Подставим x в уравнение:

y₁=7; y₂=-1

Получаем две точки пересечения : (3;7) и (-1;-1)

Пределы интегрирования a=-1, b=3. Площадь фигуры равняется:

S = \int\limits_{- 1}^3 {(2x + 1) - ({x^2} - 2)dx =} \int\limits_{-1}^3 (-{x^2} + 2x + 3)dx =

= - \int\limits_{- 1}^3 {{x^2}dx + } 2\int\limits_{- 1}^3 {x *dx}+3\int\limits_{- 1}^3 {1 *dx}=- \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_{- 1}^3 + 2\left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_{- 1}^3+3\left. {\frac{x}{1}} \right|_{ - 1}^3  

F(3) =- \frac{{{3^3}}}{3} + {3^2} + 3*3 = 9

F( - 1) =- \frac{{{{(- 1)}^3}}}{3} + {(-1)^2} + (- 1)*3 =- \frac{5}{3}

F(3) - F( - 1) = 9 - (- \frac{5}{3}) = \frac{{32}}{3} \approx 10,7

Графики прилагаются.

Answer 2

1. Для нахождения площади фигуры, ограниченной указанными линиями, мы должны сначала построить график каждой функции и определить область, которая ограничивается этими линиями. Затем можно использовать метод интегрирования, чтобы вычислить площадь этой области.

Графики функций:

• y = x^3 + 4
• y = -2x^2 + 2
• y = 0 (ось x)
• x = 1
• x = 6

Для начала, построим графики функций на интервале x от 0 до 6:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Функции
def f1(x):
    return x**3 + 4

def f2(x):
    return -2*x**2 + 2

# Значения x от 0 до 6
x = np.linspace(0, 6, 100)

# Графики функций
plt.plot(x, f1(x), label='y = x^3 + 4')
plt.plot(x, f2(x), label='y = -2x^2 + 2')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(1, color='red', linestyle='--', label='x = 1')
plt.axvline(6, color='blue', linestyle='--', label='x = 6')

# Заполнение области между кривыми
plt.fill_between(x, f1(x), f2(x), where=(x >= 1) & (x <= 6), alpha=0.3)

plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Графики функций')
plt.grid(True)
plt.show()

Площадь фигуры, ограниченной этими линиями, будет равна интегралу разности между y = x^3 + 4 и y = -2x^2 + 2 от x = 1 до x = 6:

pythonCopy code
from scipy.integrate import quad

def area_between_curves(x):
    return f1(x) - f2(x)

# Найдем значение интеграла
area, _ = quad(area_between_curves, 1, 6)
print("Площадь фигуры: ", area)

2. Аналогично, для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y = sqrt(x - 1), x = 0, y = 0, x = 4, мы построим график функции sqrt(x - 1) на интервале x от 0 до 4, а затем найдем площадь под кривой на этом интервале:

pythonCopy code
# Функция
def f3(x):
    return np.sqrt(x - 1)

# Значения x от 0 до 4
x = np.linspace(0, 4, 100)

# График функции
plt.plot(x, f3(x), label='y = sqrt(x - 1)')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='red', linestyle='--', label='x = 0')
plt.axvline(4, color='blue', linestyle='--', label='x = 4')

# Заполнение области под кривой
plt.fill_between(x, f3(x), 0, where=(x >= 1) & (x <= 4), alpha=0.3)

plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции')
plt.grid(True)
plt.show()

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими линиями, как интеграл функции sqrt(x - 1) от x = 1 до x = 4:

pythonCopy code
def area_under_curve(x):
    return f3(x)

# Найдем значение интеграла
area, _ = quad(area_under_curve, 1, 4)
print("Площадь фигуры: ", area)

Помните, что для выполнения этих кодовых примеров вам нужен Python и необходимо установить библиотеку matplotlib для графиков и scipy для интегрирования.