Question

Помогите вычислить при помощи определённого интеграла площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x^2-4 и осью Ox ; C рисунком​

Answer 1

Для начала найдём значения х, при которых функция ограничена этими линиями, положив у = 0.

x² - 4 = 0

x = ± 2.

На рисунке площадь заштрихованной фигуры.

$S=\int\limits^2_{-2}(f(x)-g(x))dx=\int\limits^2_{-2}(0-(x^2-4))dx=\int\limits^2_{-2}(4-x^2)dx=\\ \\ =\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|^2_{-2}=8-\frac{8}{3}+8-\frac{8}{3}=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции y = x^2 - 4 и осью Ox, мы можем использовать определенный интеграл. Площадь фигуры будет равна интегралу от функции y = x^2 - 4 в пределах, где y больше или равно нулю.

Вычисление площади фигуры

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции y = x^2 - 4 и осью Ox, мы можем использовать определенный интеграл. Площадь фигуры будет равна интегралу от функции y = x^2 - 4 в пределах, где y больше или равно нулю.

Мы можем записать функцию в виде y = x^2 - 4 и найти точки пересечения с осью Ox, где y = 0. Решая уравнение x^2 - 4 = 0, получаем две точки пересечения: x = -2 и x = 2.

Таким образом, для вычисления площади фигуры, мы можем взять определенный интеграл от функции y = x^2 - 4 в пределах от x = -2 до x = 2.

Вычисление интеграла

Для вычисления интеграла, мы можем использовать различные методы, такие как метод прямоугольников, метод тrapezoid, метод Simpson и другие. В данном случае, мы будем использовать метод трапеций для вычисления интеграла.

Интеграл от функции y = x^2 - 4 в пределах от x = -2 до x = 2 можно записать следующим образом:

∫[x=-2 to x=2] (x^2 - 4) dx

Вычислим данный интеграл:

∫[x=-2 to x=2] (x^2 - 4) dx = [x^3/3 - 4x] [x=-2 to x=2]

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

([2^3/3 - 4(2)] - [-2^3/3 - 4(-2)])

Вычислим данное выражение:

([8/3 - 8] - [-8/3 + 8]) = (8/3 - 8 + 8/3 - 8) = -16/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x^2 - 4 и осью Ox, равна -16/3.

Рисунок

Для наглядности, приложен рисунок, который показывает график функции y = x^2 - 4 и область, ограниченную этим графиком и осью Ox.


Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.