Question

Вычислите объём тела, полученного при вращении полученной фигуры вокруг оси Ох y=2x-x^2 y=0 x=1 x=2

Answer 1

Ответ:

8/15π

Пошаговое объяснение:

Решение с ответом на фотографии.

Будь аккуратен при переписывании.

Если что-то плохо видно, напиши комментарий к ответу.

;)

От себя добавлю:

Как проверит преподаватель, напиши, если не трудно будет. Очень интересно :)

Answer 2

Для вычисления объема тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси Ox, необходимо использовать метод цилиндрического шелушения или метод дискового интеграла. #### Нахождение точек пересечения кривых Для начала найдем точки пересечения кривых y = 2x - x^2 и y = 0. Для этого приравняем уравнения и решим полученное квадратное уравнение: 2x - x^2 = 0 x(2 - x) = 0 x = 0 или x = 2 Таким образом, кривые пересекаются в точках (0, 0) и (2, 0). #### Определение границ интегрирования Мы также видим, что фигура ограничена осью Oy и прямыми x = 1 и x = 2. Поэтому для вычисления объема тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси Ox, мы будем интегрировать по оси x от x = 1 до x = 2. #### Метод цилиндрического шелушения Мы можем использовать метод цилиндрического шелушения для вычисления объема тела. Для этого мы разобьем фигуру на бесконечно малые цилиндрические шелуши. Объем каждого шелушения можно вычислить как площадь основания, умноженную на высоту. Высота каждого шелушения будет равна разности значений функций y = 2x - x^2 и y = 0 в соответствующих точках x. Таким образом, высота шелушения будет равна (2x - x^2) - 0 = 2x - x^2. Радиус каждого шелушения будет равен x, так как мы вращаем фигуру вокруг оси Ox. Теперь мы можем вычислить объем каждого шелушения и проинтегрировать его по оси x от x = 1 до x = 2: V = ∫[1,2] π(x^2)(2x - x^2) dx V = π ∫[1,2] (2x^3 - x^4) dx Вычислим интеграл: V = π [x^4/2 - x^5/5] | [1,2] V = π [(2^4/2 - 2^5/5) - (1^4/2 - 1^5/5)] V = π [(16/2 - 32/5) - (1/2 - 1/5)] V = π [(8 - 32/5) - (1/2 - 1/5)] V = π [(40/5 - 32/5) - (5/10 - 2/10)] V = π [(8/5) - (3/10)] V = π (16/10 - 3/10) V = π (13/10) Таким образом, объем тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси Ox, равен (13/10)π.