Question

Найти вероятность того, что сумма двух наудачу взятых положительных правильных дробей не больше 0,75, а их произведение не меньше 0,125. Постройте графики функций в прямоугольный системе координат

Answer 1

По всей видимости правильные дроби случайно выбирают из отрезка [0;1] при равномерном распределении. Обозначим два положительных правильных дробей через $x$ и $y$, тогда по условию, составим ограничения

$x+y\leq 0{,}75\\ xy\geq 0{,}125$

Найдем точки пересечения прямой y = 0,75 - x и гиперболой y = 0,125/x.

$x_1=\dfrac{1}{4};~~~ x_2=\dfrac{1}{2}$

$P=\displaystyle \int\limits^{1/2}_{1/4}\Big(0{,}75-x-\dfrac{0{,}125}{x}\Big)dx\approx0{,}0571$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать метод геометрической вероятности. Для начала, рассмотрим ограничения на сумму и произведение двух положительных правильных дробей: 1) Сумма двух дробей не должна превышать 0,75. Обозначим первую дробь как x/y, где x и y - положительные целые числа. Тогда 0 < x < y и x/y <= 0,75. Рассмотрим график функции x/y = 0,75: ^ | y = 0,75x |*********************** | ************************************ -------------------------------------------------> x = 0 1 2 3 2) Произведение двух дробей не должно быть меньше 0,125. Обозначим вторую дробь как z/w, где z и w - положительные целые числа. Тогда 0 < z < w и z/w >= 0,125. Рассмотрим график функции z/w = 0,125: ^ | w = 0,125z|******************** | ************************************ -------------------------------------------------> z = 0 1 2 3 Теперь рассмотрим общий график этих двух функций: ^ | w = 0,125z|******************** | . *************** | . * | . * | . * | . * | . * | . * | . * | . * | . * | . * | . * | ************************* -------------------------------------------------> z = 0 1 2 3 На графике видно, что область, где оба ограничения выполняются, представляет собой малую площадь. Чтобы найти вероятность случайного выбора двух дробей, которые удовлетворяют этим ограничениям, необходимо найти отношение площади этой области к общей площади прямоугольника, ограниченного горизонтальной осью (от 0 до 3) и вертикальной осью (от 0 до 0.125): ^ | | | | **************** | **************** | **************** | **************** | **************** | **************** | **************** | **************** | **************** | **************** | **************** | **************** ----------------------------------> x = 0 1 2 3 Общая площадь прямоугольника равна 3 * 0.125 = 0.375, площадь области, где выполняются оба ограничения, равна приблизительно 5/24 = 0.208333. Таким образом, вероятность случайного выбора двух дробей, которые удовлетворяют ограничениям, равна отношению площади области, где выполняются оба ограничения, к общей площади прямоугольника: Вероятность = 0.208333 / 0.375 ≈ 0.555556 Таким образом, вероятность составляет около 0.555556 или около 55.56%.