Question

Пусть {b}n - геометрическая прогрессия. Найдите знаменатель прогрессии, если b3-b1=16 и b3+b2=24

Answer 1

b1=2 b2=6 b3=18

Пусть b2=b1*a, b3=b2*a=b1=a*a

Подставляем в систему уравнений

a*a*b1-b1=16

a*a*b1+a*b1=24

из первого уравнения b1=16/(a*a-1)

подставляем во второе уравнение

16*a*(a+1)/(a*a-1)=24

16a=24*a-24

a=3

b1=16/(a*a-1)=2

Answer 2

Пусть b1, b2 и b3 - члены геометрической прогрессии, а q - знаменатель прогрессии. Так как прогрессия геометрическая, то мы можем записать следующие равенства: b2 = b1 * q b3 = b2 * q = (b1 * q) * q = b1 * q^2 Используя данные из условия, мы можем записать следующие уравнения: b3 - b1 = 16 b3 + b2 = 24 Подставляем выражения для b3 и b2 в уравнение b3 + b2 = 24: b1 * q^2 + b1 * q = 24 Факторизуем общий множитель b1: b1 * (q^2 + q) = 24 Разделим обе части на b1: q^2 + q = 24 / b1 Также мы можем записать уравнение b3 - b1 = 16 в виде: b1 * q^2 - b1 = 16 Факторизуем общий множитель b1: b1 * (q^2 - 1) = 16 Разделим обе части на b1: q^2 - 1 = 16 / b1 Теперь имеем систему из двух уравнений: q^2 + q = 24 / b1 q^2 - 1 = 16 / b1 Решим это уравнение методом подстановки. Подставим значение q^2 - 1 из второго уравнения в первое: ((16 / b1) + 1) + q = 24 / b1 Раскрываем скобки: 16 / b1 + 1 + q = 24 / b1 Переносим все члены, содержащие q, влево, а все члены, не содержащие q, вправо: q - 1 = (24 / b1) - (16 / b1) - 1 Упрощаем: q - 1 = 8 / b1 - 1 Упрощаем дальше: q = 8 / b1 Итак, мы получили, что знаменатель прогрессии q равен 8 / b1.