Question

7. Пусть a n ​- есть геометрическая прогрессия, такая, что a 1 =2и q=3. Найдите сумму первых пяти элементов. 8. Пусть a n ​- есть геометрическая прогрессия, где a 1 =2 и q=−2. Найдите сумму её первых 10 элементов. 9. Пятый член геометрической прогрессии равен 2, а второй равен 54. Чему равен знаменатель? 10. Первый член геометрической прогрессии равен 27, а ее знаменатель равен 1/3. Найти шесть первых членов геометрической прогрессии.

Answer 1

Ответ:

1) 6  2) 6 3) 7 4) 59 5) 909

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этих задач, используем формулу общего члена геометрической прогрессии:

a_n = a_1 * q^(n-1),

где a_n - n-й член прогрессии, a_1 - первый член, q - знаменатель прогрессии, n - номер члена прогрессии.

1. Сумма первых пяти элементов геометрической прогрессии с a_1 = 2 и q = 3:

a_1 = 2, q = 3.

Найдем первые пять членов прогрессии:

a_2 = 2 * 3^(2-1) = 6, a_3 = 2 * 3^(3-1) = 18, a_4 = 2 * 3^(4-1) = 54, a_5 = 2 * 3^(5-1) = 162.

Теперь найдем сумму этих членов:

Сумма первых пяти элементов = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242.

Ответ: Сумма первых пяти элементов равна 242.

2. Сумма первых десяти элементов геометрической прогрессии с a_1 = 2 и q = -2:

a_1 = 2, q = -2.

Найдем первые десять членов прогрессии:

a_2 = 2 * (-2)^(2-1) = 2 * (-2) = -4, a_3 = 2 * (-2)^(3-1) = 2 * 4 = 8, a_4 = 2 * (-2)^(4-1) = 2 * (-8) = -16, и так далее.

Теперь найдем сумму этих членов. Мы видим, что знаки членов чередуются, и сумма первых 10 элементов будет равна нулю:

Сумма первых десяти элементов = 2 - 4 + 8 - 16 + ... = 0.

Ответ: Сумма первых десяти элементов равна 0.

3. Пятый член геометрической прогрессии равен 2, а второй равен 54. Найдем знаменатель q:

Известно, что a_5 = 2 и a_2 = 54.

Используя формулу для общего члена геометрической прогрессии, мы можем записать:

a_5 = a_1 * q^(5-1) = 2 * q^4, a_2 = a_1 * q^(2-1) = 2 * q.

Теперь мы можем составить уравнение:

2 * q^4 = 2, 2 * q = 54.

Первое уравнение можно упростить, деля обе стороны на 2:

q^4 = 1.

Это уравнение имеет несколько решений, но нас интересует действительное значение q. Мы видим, что q = 1 удовлетворяет уравнению. Таким образом, знаменатель q равен 1.

Ответ: Знаменатель геометрической прогрессии равен 1.

4. Первый член геометрической прогрессии равен 27, а её знаменатель равен 1/3. Найдем первые шесть членов прогрессии:

a_1 = 27, q = 1/3.

a_2 = 27 * (1/3)^(2-1) = 27 * 1/3 = 9, a_3 = 27 * (1/3)^(3-1) = 27 * 1/9 = 3, a_4 = 27 * (1/3)^(4-1) = 27 * 1/27 = 1, a_5 = 27 * (1/3)^(5-1) = 27 * 1/81 = 1/3, a_6 = 27 * (1/3)^(6-1) = 27 * 1/243 = 1/9.

Теперь у нас есть первые шесть членов геометрической прогрессии:

a_1 = 27, a_2 = 9, a_3 = 3, a_4 = 1, a_5 = 1/3, a_6 = 1/9.

Ответ: Первые шесть членов геометрической прогрессии равны 27, 9, 3, 1, 1/3 и 1/9.