Question

Вычислите определенный интеграл: а) интеграл на промежутке от -2 до 0 (5x+6)cos2xdx б) интеграл на промежутке от 0 до 1 (x^2+1) Деленное на (x^3+3x+1)^2 dx

Answer 1

1. Интегрирование частями.
2. Дробно-рациональная функция интегрируема методом подстановки.

Answer 2

а) Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Пусть u = (5x+6), dv = cos(2x)dx. Тогда du = 5dx, v = (1/2)sin(2x). Применяя формулу интегрирования по частям, получаем: ∫(5x+6)cos^2(x) dx = uv - ∫v du = (5x+6)(1/2)sin(2x) - ∫(1/2)sin(2x) * 5 dx = (5x+6)(1/2)sin(2x) + (∫sin(2x) dx) * (5/2) Здесь ∫sin(2x) dx легко вычислить: ∫sin(2x) dx = (1/2) * ∫sin(u) du (замена u = 2x) = -(1/2)cos(2x) + C Подставляем этот результат в предыдущее выражение: (5x+6)(1/2)sin(2x) + (∫sin(2x) dx) * (5/2) = (5x+6)(1/2)sin(2x) + (-(1/2)cos(2x) + C) * (5/2) = (5x+6)(1/2)sin(2x) - (5/4)cos(2x) + C Таким образом, определенный интеграл ∫(5x+6)cos^2(x) dx на промежутке от -2 до 0 равен: ((5(0)+6)(1/2)sin(2(0)) - (5/4)cos(2(0))) - ((5(-2)+6)(1/2)sin(2(-2)) - (5/4)cos(2(-2))) = (0 - (-5/4)) - ((-4+6)(1/2)sin(-4) - (5/4)cos(-4)) = (5/4) + (1)(1/2)sin(-4) - (5/4)cos(-4) = (5/4) - (1/2)sin(4) - (5/4)cos(4) б) Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом частных дробей. Сначала разложим дробь (x^2+1)/(x^3+3x+1)^2 на простейшие дроби: (x^2+1)/(x^3+3x+1)^2 = A/(x^3+3x+1) + B/(x^3+3x+1)^2 Общий знаменатель дробей можно представить как (x^3+3x+1)^2, так как каждая дробь содержит степень 2 в знаменателе. Произведем умножение и суммирование: (x^2+1) = A(x^3+3x+1) + B Раскрываем скобки и собираем коэффициенты при одинаковых степенях x: x^2 + 1 = Ax^3 + 3Ax + A + B Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений: A = 0 (коэффициент при x^3) 3A = 0 (коэффициент при x) A + B = 1 (свободный член) Из первого уравнения следует, что A = 0. Из второго уравнения следует, что A = 0. Подставляя значения A = 0 и B = 1 в третье уравнение, получаем: 0 + 1 = 1 Таким образом, разложение дроби (x^2+1)/(x^3+3x+1)^2 на простейшие дроби имеет вид: (x^2+1)/(x^3+3x+1)^2 = 1/(x^3+3x+1) И теперь можем вычислить определенный интеграл: ∫(x^2+1)/(x^3+3x+1)^2 dx = ∫1/(x^3+3x+1) dx Для вычисления данного интеграла можно воспользоваться методом замены переменной или методом частичных дробей. Определенный интеграл ∫(x^2+1)/(x^3+3x+1)^2 dx на промежутке от 0 до 1 может быть вычислен с использованием численных методов, например методом прямоугольников или методом трапеций. В этих методах функция разбивается на малые отрезки, и на каждом отрезке значения функции аппроксимируются константой, после чего вычисляется сумма полученных площадей.