Question

докажите,что функция g(x) на множестве R является возрастающей (убывающей) и определите какой именно g(x)=4x+sin^2x

Answer 1

Ответ: функция возрастает на множестве R.

Пошаговое объяснение:

Производная g'(x)=4+2*sin(x)*cos(x)=4+sin(2*x)>0, так как при любом значении x справедливо неравенство -1≤sin(2*x)≤1. Но если производная положительна, то функция возрастает. Таким образом, доказано возрастание функции на R.

Answer 2

Для доказательства того, что функция g(x) = 4x + sin^2(x) возрастающая или убывающая на множестве R (множество всех действительных чисел), мы должны проанализировать ее производную. #### Анализ производной: Для функции g(x), найдем ее производную g'(x) по переменной x. Затем проанализируем знак производной, чтобы определить возрастание или убывание функции на множестве R. Найдем производную g'(x) функции g(x): g'(x) = d/dx (4x + sin^2(x)) Для нахождения производной функции g(x), мы применим правило дифференцирования для каждого слагаемого по отдельности: g'(x) = d/dx (4x) + d/dx (sin^2(x)) Первое слагаемое 4x имеет производную равную 4, так как производная по переменной x от x равна 1, а константа 4 не зависит от переменной x. Второе слагаемое sin^2(x) имеет производную равную 2sin(x)cos(x) по формуле производной для функции синуса. Теперь, найдем производную полного выражения: g'(x) = 4 + 2sin(x)cos(x) #### Анализ знака производной: Чтобы определить, является ли функция g(x) возрастающей или убывающей на множестве R, мы должны проанализировать знак производной g'(x). Если g'(x) > 0 для всех значений x на множестве R, то функция g(x) является возрастающей на R. Если g'(x) < 0 для всех значений x на множестве R, то функция g(x) является убывающей на R. Если g'(x) = 0 для всех значений x на множестве R, то функция g(x) является постоянной на R. Давайте проанализируем знак производной g'(x) = 4 + 2sin(x)cos(x). #### Анализ знака производной: 1. Рассмотрим первое слагаемое 4. Оно является положительной константой и не зависит от переменной x. Таким образом, оно не влияет на знак производной g'(x). 2. Рассмотрим второе слагаемое 2sin(x)cos(x). Значение синуса и косинуса может варьироваться от -1 до 1. Умножение этих значений дает нам положительные значения при sin(x)cos(x) > 0 и отрицательные значения при sin(x)cos(x) < 0. Теперь рассмотрим возможные комбинации знаков sin(x)cos(x): - sin(x) > 0, cos(x) > 0: sin(x)cos(x) > 0 - sin(x) < 0, cos(x) < 0: sin(x)cos(x) > 0 - sin(x) < 0, cos(x) > 0: sin(x)cos(x) < 0 - sin(x) > 0, cos(x) < 0: sin(x)cos(x) < 0 Таким образом, второе слагаемое 2sin(x)cos(x) может быть положительным или отрицательным, в зависимости от комбинации знаков sin(x) и cos(x). 3. Когда мы суммируем первое и второе слагаемые, мы получаем производную g'(x). Знак этой производной будет зависеть от комбинации знаков первого и второго слагаемых. Таким образом, функция g(x) = 4x + sin^2(x) может быть возрастающей или убывающей в зависимости от комбинации значений sin(x) и cos(x). #### Заключение: Не существует однозначного ответа на вопрос о возрастании или убывании функции g(x) = 4x + sin^2(x) на множестве R без дополнительной информации о значениях sin(x) и cos(x). Чтобы более точно определить возрастание или убывание функции g(x), нужно провести дополнительный анализ значений sin(x) и cos(x), либо ограничить диапазон значений переменной x.