Question

найти интеграл cos^3xdx (представить cos^3x=cos^2x*cosx, внести синус под знак дифференциала, применить основное тригонометрическое тождество: cos^2x=1-sin^2x и заменить переменную t=sinx)​

Answer 1

$\int cos^3x\, dx=\int cos^2x\cdot cosx\, dx=\int (1-sin^2x)\cdot d(sinx)=\\\\=\int d(sinx)-\int sin^2x\cdot d(sinx)=sinx-\dfrac{sin^3x}{3}+C$

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем представить cos^3x в виде произведения cos^2x и cosx:

cos^3x = cos^2x * cosx

Заменяя cos^2x согласно основному тригонометрическому тождеству (cos^2x = 1 - sin^2x), получаем:

cos^3x = (1 - sin^2x) * cosx

Теперь проведем замену переменной: t = sinx. Тогда dt = cosx dx.

Используя эти замены, получим следующий интеграл:

∫ cos^3x dx = ∫ (1 - sin^2x) * cosx dx

Так как dt = cosx dx, мы можем заменить cosx dx на dt:

∫ (1 - sin^2x) * cosx dx = ∫ (1 - t^2) dt

Теперь мы можем решить этот простой интеграл по переменной t:

∫ (1 - t^2) dt = t - t^3/3 + C

Здесь С - произвольная постоянная.

Вспоминая, что t = sinx, получаем окончательный результат:

∫ cos^3x dx = sinx - (sinx)^3/3 + C