Question

Найти интеграл (sin^3x)/(cos^2x)dx (понизить степени sin^3x=sin^2x*sinx, cos^2x=1/2*(1+cos2x), внести косинус под знак дифференциала и заменить t=cosx) ​

Answer 1

$\int \dfrac{sin^3x}{cos^2x}\, dx=\int \dfrac{(1-cos^2x)\cdot sinx\, dx}{cos^2x}=\int \dfrac{-(1-cos^2x)\cdot d(cosx)}{cos^2x}=\\\\\\=-\int \dfrac{d(cosx)}{cos^2x}+\int d(cosx)=\dfrac{1}{cosx}+cosx+C$

Answer 2

Давайте последовательно выполним указанные шаги:

1. Понижение степеней:

   $\sin^3x = \sin^2x \cdot \sin x$

2. Замена $\cos^2x$ с использованием формулы половинного угла:

   $\cos^2x = \frac{1}{2} \cdot (1 + \cos(2x))$

3. Внесение $\cos x$ под знак дифференциала:

   $d(\sin x) = \cos x \, dx$

Теперь давайте выполним подстановку $t = \cos x$, тогда $dt = -\sin x \, dx$. Заметим, что $-dt = \sin x \, dx$.

Теперь интеграл выглядит следующим образом:

$$\int \frac{\sin^2x \cdot \sin x}{\cos^2x} \, dx = \int \frac{\sin^2x \cdot \sin x}{\frac{1}{2} \cdot (1 + \cos(2x))} \, dx = -2 \int \frac{\sin^2x \cdot \sin x}{1 + \cos(2x)} \, dx$$

Используем замену $t = \cos x$, тогда $-dt = \sin x \, dx$, и $\sin x = -dt$. Теперь интеграл можно переписать в виде:

$$-2 \int \frac{(-dt) \cdot (-dt)}{1 + t^2} = 2 \int \frac{dt^2}{1 + t^2}$$

Теперь интегрируем по переменной $t$:

$$2 \int \frac{dt^2}{1 + t^2} = 2 \arctan(t) + C$$

Заменяя обратно $t = \cos x$, получаем:

$$2 \arctan(\cos x) + C$$

Таким образом, окончательный интеграл:

$$\int \frac{\sin^3x}{\cos^2x} \, dx = 2 \arctan(\cos x) + C$$

где $C$ - постоянная интегрирования.