Question

Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите угол C, если угол AMB=170°​

Answer 1

1.

в ΔАМВ:

∠ВАМ + ∠АВМ = 180° - ∠АМВ = 180° - 170° = 10°,

2.

так как  ΔАМВ образован биссектрисами углов А и В, то:

∠ВАМ + ∠АВМ = 1/2 * (∠А + ∠В), отсюда:

∠А + ∠В = 2 * (∠ВАМ + ∠АВМ) = 2 * 10° = 20°,

3.

в ΔАМС:

∠С = 180° - (∠А + ∠В) = 180° - 20° = 160°

Answer 2

Угол AMB равен 170°.

По свойству биссектрисы угла, точка M делит сторону AC в отношении длин AM:MC, пропорциональных синусам соответствующих углов:
AM/MC = sin(C/2)/sin((180°-C)/2).

Также, по свойству биссектрисы угла, точка M делит сторону BC в отношении длин BM:MC, пропорциональных синусам соответствующих углов:
BM/MC = sin(A/2)/sin((180°-A)/2).

Из-за свойства, что в треугольнике сумма углов равна 180°, получаем, что A + B = 180° - C.

Так как sin(A/2) = sin((180°-A)/2) (это следует из того, что sin(180°-x) = sin(x)), получаем BM/MC = AM/MC. Таким образом, BM = AM.

Из равенства BM = AM следует, что угол BMA равен углу MAB.

Таким образом, имеем следующую систему уравнений:
A + B = 180° - C,
A/2 = BMA,
170° - A/2 = C/2.

Решая эту систему уравнений, можно найти значение угла C.