Question

Найдите площадь четырехугольника ABCD с вершинами в точках A (7; 2), B (8; -1), C (3; -5), D (2; -1)

Answer 1

Площадь четырехугольника сумма площадей двух треугольников

S ABCD = S ABD + S CBD

Вектора

BD ( 2-8;-1 -  (-1))  BD (-6;0)

BA (7-8;2- (-1))     BA ( -1;3)

BC (3-8;-5-(-1))     BC (-5;-4)

S ABCD = S ABD + S CBD = 1/2 ( | BDxBA | +| BDxBC | ) = 1/2 ( | -6*3 - (-1)*0 | + | (-6)*(-4) - (-5*0) |  ) = 1/2 ( 18+24) = 21

Answer 2

Конечно, помогу! Для нахождения площади четырехугольника ABCD можно воспользоваться формулой площади четырехугольника, описанной векторным методом. Пусть \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\) - векторы, соединяющие точки A и B, а \(\vec{u_1}\) и \(\vec{u_2}\) - векторы, соединяющие точки A и D. Тогда площадь четырехугольника можно найти как половину модуля векторного произведения этих векторов: \[S = \frac{1}{2}|\vec{v_1} \times \vec{v_2} + \vec{u_1} \times \vec{u_2}|\] Давайте найдем векторы и подставим их в формулу. \[\vec{v_1} = \langle 8 - 7, -1 - 2 \rangle = \langle 1, -3 \rangle\] \[\vec{v_2} = \langle 3 - 7, -5 - 2 \rangle = \langle -4, -7 \rangle\] \[\vec{u_1} = \langle 2 - 7, -1 - 2 \rangle = \langle -5, -3 \rangle\] \[\vec{u_2} = \langle 8 - 7, -1 - 2 \rangle = \langle 1, -3 \rangle\] Теперь подставим их в формулу: \[S = \frac{1}{2}|\langle 1, -3 \rangle \times \langle -4, -7 \rangle + \langle -5, -3 \rangle \times \langle 1, -3 \rangle|\] Вычислим векторные произведения: \[\langle 1, -3 \rangle \times \langle -4, -7 \rangle = \langle -21, -13 \rangle\] \[\langle -5, -3 \rangle \times \langle 1, -3 \rangle = \langle -6, -22 \rangle\] Теперь сложим эти векторы: \[\langle -21, -13 \rangle + \langle -6, -22 \rangle = \langle -27, -35 \rangle\] Найдем модуль этого вектора: \[|\langle -27, -35 \rangle| = \sqrt{(-27)^2 + (-35)^2} = \sqrt{729 + 1225} = \sqrt{1954}\] Теперь умножим полученное значение на половину: \[S = \frac{1}{2} \sqrt{1954}\] Таким образом, площадь четырехугольника ABCD составляет \(\frac{1}{2} \sqrt{1954}\) квадратных единиц.