Question

Решить неравенство √x-1≥x-3

Answer 1

Ответ [1;5] Решение задания приложено

Answer 2

Для решения неравенства √(x - 1) ≥ x - 3, мы должны следовать нескольким шагам.

1. Начнем с того, что подкоренное выражение (√(x - 1)) не может быть отрицательным или равным нулю, так как квадратный корень из отрицательного числа или нуля не существует. Поэтому x - 1 должно быть больше или равно нулю:

x - 1 ≥ 0

2. Решим это неравенство для x:

x ≥ 1

Теперь у нас есть ограничение на x, которое говорит нам, что x должно быть больше или равно 1.

3. Теперь вернемся к исходному неравенству √(x - 1) ≥ x - 3 и заметим, что оно верно только в том случае, если x находится в допустимом диапазоне (x ≥ 1).

4. Теперь рассмотрим неравенство √(x - 1) ≥ x - 3 внутри этого допустимого диапазона:

√(x - 1) ≥ x - 3

5. Теперь возведем обе стороны неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

x - 1 ≥ (x - 3)²

6. Раскроем скобки на правой стороне:

x - 1 ≥ x² - 6x + 9

7. Переносим все члены на одну сторону неравенства:

0 ≥ x² - 6x + 9 - x + 1

8. Упростим выражение:

0 ≥ x² - 7x + 10

9. Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем его корни:

x² - 7x + 10 = 0

Для нахождения корней, мы можем воспользоваться квадратным уравнением:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = 1, b = -7, и c = 10.

x₁ = (-(-7) + √((-7)² - 4(1)(10))) / (2(1)) = (7 + √(49 - 40)) / 2 = (7 + √9) / 2 = (7 + 3) / 2 = 5

x₂ = (-(-7) - √((-7)² - 4(1)(10))) / (2(1)) = (7 - √9) / 2 = (7 - 3) / 2 = 2

Таким образом, у нас есть два корня: x₁ = 5 и x₂ = 2.

10. Теперь мы знаем, что неравенство выполняется вне интервалов между корнями. Найдем эти интервалы:

Между x = 2 и x = 5, неравенство не выполняется, так как в этом диапазоне √(x - 1) меньше x - 3.

11. Теперь мы можем записать окончательное решение неравенства:

x ≥ 1, x < 2 или x > 5

Это значит, что неравенство √(x - 1) ≥ x - 3 выполняется, когда x принимает значения из интервала [1, 2) и интервала (5, +∞).