Question

Найти производную сложной функции у=(7х^4-5х^3+2х)^2

Answer 1

$y=(7x^4-5x^3+2x)^2=u^2\\\\u=u(x)\; ,\; \; (u^2)'=2u\cdot u'\; ,\; \; u=7x^4-5x^3+2x\\\\y'=2(7x^4-5x^3+2)\cdot (7x^4-5x^3+2x)'=\\\\=2(7x^4-5x^3+2x)\cdot (28x^3-15x^2+2)$

Answer 2

$y=\left(7x^4-5x^3+2x\right)^2\\ y'=2\cdot\left(7x^4-5x^3+2x\right)\cdot\left(28x^3-15x^2+2\right)=\\ =2\left(196x^7-105x^6+14x^4-140x^6+75x^5-10x^3+56x^3-30x^2+4x\right)=\\ =2\cdot\left(196x^7-245x^6+75x^5+14x^4+46x^3-30x^2+4x\right)=\\ =392x^7-490x^6+150x^5+28x^4+92x^3-60x^2+8x$

Answer 3

Для нахождения производной сложной функции `у = (7x^4 - 5x^3 + 2x)^2+`, мы можем воспользоваться правилом цепочки (chain rule) для производных. Правило цепочки гласит, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.

Давайте разберемся с вашей функцией по шагам:

1. Внутренняя функция (внутренний слой) у нас это `(7x^4 - 5x^3 + 2x)`. Обозначим эту внутреннюю функцию как `v(x)`.

2. Внешняя функция (внешний слой) у нас это `u(v) = v^2`. Обозначим эту внешнюю функцию как `u(v)`.

Теперь мы можем найти производные:

1. Производная внутренней функции `v(x)` по переменной `x`:

`v'(x) = d/dx(7x^4 - 5x^3 + 2x)` `v'(x) = 28x^3 - 15x^2 + 2`

2. Производная внешней функции `u(v)` по переменной `v`:

`u'(v) = d/dv(v^2)` `u'(v) = 2v`

Теперь мы можем использовать правило цепочки, чтобы найти производную исходной функции `у(x)`:

`у'(x) = u'(v) * v'(x)`

Подставляем выражения для производных:

`у'(x) = 2v * (28x^3 - 15x^2 + 2)`

Теперь у нас есть выражение для производной функции `у(x)`. Мы можем дополнительно упростить его, умножив 2 на каждый член в скобках:

`у'(x) = 56x^3v - 30x^2v + 4v`

Итак, производная сложной функции `у(x)` равна `56x^3(7x^4 - 5x^3 + 2x) - 30x^2(7x^4 - 5x^3 + 2x) + 4(7x^4 - 5x^3 + 2x)`.