Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=1-x^2 y=2x-x^2 y=0

Answer 1

У=2х-х²  парабола, ветви вниз, вершина в (1,1),
              точки пересечения с ОХ: (0,0) и (2,0).
у=1-х²   парабола, ветви вниз, вершина в (0,1),
             точки пересечения с ОХ:  (1,0) и (-1,0).
Точки пересечения парабол:  2x-x²=1-х² ,  2x=1  ,  x=1/2 .

$S= \int\limits^{1/2}_0(2x-x^2)\, dx+\int\limits^1_{1/2}(1-x^2)\, dx=\\\\=(x^2-\frac{x^3}{3})\Big |_0^{1/2}+(x-\frac{x^3}{3})\Big |_{1/2}^1=\frac{1}{4}-\frac{1}{8\cdot 3}+1-\frac{1}{3}=\frac{21}{24}=\frac{7}{8}=0,875$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной этими тремя кривыми, вам сначала нужно определить точки их пересечения. Затем вы можете использовать интеграл для вычисления площади между этими кривыми.

Первым шагом найдем точки пересечения кривых, решив систему уравнений:

1. y = 1 - x^2
2. y = 2x - x^2
3. y = 0

Для нахождения точек пересечения можно установить уравнения 1 и 2 равными друг другу, так как они оба равны y:

1 - x^2 = 2x - x^2

Теперь выразим x:

1 = 2x

x = 1/2

Теперь мы можем использовать это значение x, чтобы найти соответствующие значения y, используя любое из первых двух уравнений:

1. Для уравнения 1:

y = 1 - (1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4

2. Для уравнения 2:

y = 2 * (1/2) - (1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4

Таким образом, точка пересечения этих двух кривых - (1/2, 3/4).

Теперь, чтобы найти точку пересечения с y = 0, мы просто можем установить уравнение 1 - x^2 = 0 и решить его:

1 - x^2 = 0

x^2 = 1

x = ±1

Таким образом, у нас есть две точки пересечения с y = 0 - (-1, 0) и (1, 0).

Теперь у нас есть все необходимые точки для вычисления площади фигуры. Площадь фигуры будет равна сумме площадей двух фигур: между кривыми 1 и 2 и между кривыми 1 и 3.

Для площади между кривыми 1 и 2, вы можете использовать определенный интеграл:

A1 = ∫[0.5, 1] (1 - x^2 - (2x - x^2)) dx

A1 = ∫[0.5, 1] (1 - 2x) dx

Аналогично, для площади между кривыми 1 и 3:

A2 = ∫[-1, 0.5] (1 - x^2) dx

Площадь фигуры будет равна A1 + A2.

Вычисление интегралов может быть выполнено численно с использованием соответствующего программного обеспечения или калькулятора, так как это сложная задача, и результат будет числовым значением.