Question

Может ли разность двух трехзначных чисел, из которых второе записано теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, быть квадратом натурального числа? Ответ обоснуйте.

Answer 1

Для того чтобы рассматриваемая разность была квадратом натурального числа, необходимо, чтобы а — с было кратно 11, но а — с<10, поэтому разность abc — cba не может быть равна квадрату какого-либо натурального числа.

Answer 2

Да, разность двух трехзначных чисел, где второе число является обратной перестановкой цифр первого числа, может быть квадратом натурального числа.

Давайте рассмотрим этот вопрос на примере. Пусть первое трехзначное число - 321 (единицы - 1, десятки - 2, сотни - 3), а второе число - 123 (единицы - 3, десятки - 2, сотни - 1), то есть оно представляет собой обратную перестановку цифр первого числа.

Разность между этими числами будет: 321 - 123 = 198.

Теперь проверим, может ли 198 быть квадратом натурального числа. Квадраты первых нескольких натуральных чисел:

1^2 = 1 2^2 = 4 3^2 = 9 4^2 = 16 5^2 = 25 6^2 = 36 7^2 = 49 8^2 = 64 9^2 = 81

Ни одно из этих чисел не равно 198, следовательно, 198 не является квадратом натурального числа.

Таким образом, мы показали, что разность двух трехзначных чисел, где второе число является обратной перестановкой цифр первого числа, не может быть квадратом натурального числа.