Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y^2=x,y=>0,x=1,x=4

Answer 1

  $y^2=x$  - это парабола (лежачая), ветви вправо, вершина в (0,0).
  $y\geq 0$  - верхняя полуплоскость вместе с осью ОХ .
х=1  и  х=4  - прямые, перпендикулярные оси ОХ.

$y^2=x\; \; \Rightarrow \; \; \; y=\pm \sqrt{x}$

Так как в верхней полуплоскости $y\geq 0$  , то берём знак + перед корнем .

$S= \int\limits^4_1 \, \sqrt{x}\, dx = \frac{2x^{3/2}}{3} \Big |_1^4= \frac{2\sqrt{x^3}}{3}\Big |_1^4= \frac{2}{3}\cdot (\sqrt{4^3}-\sqrt{1^3} )=\\\\= \frac{2}{3} \cdot (2^3-1)= \frac{2}{3} \cdot (8-1)=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}$

Answer 2

Это звучит как задача на вычисление площади между кривыми. Давайте разберемся.

Первая кривая - $y^2 = x$, что можно записать как $y = \sqrt{x}$ (так как $y$ положительно).

Вторая кривая - $x = 1$ (вертикальная линия).

Третья кривая - $x = 4$ (еще одна вертикальная линия).

Итак, мы ищем площадь между $y = \sqrt{x}$, $x = 1$ и $x = 4$.

Интеграл для вычисления этой площади будет выглядеть так:

$\text{Площадь} = \int_{1}^{4} \left( \sqrt{x} \right) \,dx$

Вычислим интеграл:

$\text{Площадь} = \frac{2}{3}x^{3/2} \Big|_{1}^{4}$

Подставим верхний и нижний пределы:

$\text{Площадь} = \frac{2}{3}(4^{3/2} - 1^{3/2})$

$\text{Площадь} = \frac{2}{3}(8 - 1)$

$\text{Площадь} = \frac{2}{3} \times 7$

$\text{Площадь} = \frac{14}{3}$

Таким образом, площадь фигуры ограниченной указанными линиями равна $\frac{14}{3}$.