Question

А)cos^2a+sin^4a+cos^2asin^2a б)1/(1+tg^2)-1/(1+ctg^2) Упростить

Answer 1

А) cos^2a + sin^4a+cos^2a*sin^2a = cos^2a + sin^2a*sin^a + cos^2a*sin^2a = cos^2a + sin^2a (sin^2a + cos^2a) = cos^2a + sin^2a
Пояснение:
1. раскладываем sin^4a на sin^2a*sin^2a или (sin^2a)^2
2. выносим sin^2a за скобку

Answer 2

а) Для начала упростим выражение cos^2a + sin^4a.

Заметим, что по формуле тригонометрического тождества cos^2a + sin^2a = 1. Домножим обе части этого равенства на sin^2a: (sin^2a)(cos^2a + sin^2a) = (sin^2a)(1) (sin^2a)(cos^2a) + (sin^4a) = sin^2a

Теперь введем обозначение x = cos^2a, тогда получим: x^2 + sin^4a = 1 - x

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: x^2 + sin^4a + x - 1 = 0

Получили квадратное уравнение относительно x. Решим его:

x^2 + x - 1 + sin^4a = 0

Используем формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-1 + sin^4a) = 1 + 4sin^4a

Так как D ≥ 0, то у уравнения есть действительные корни. Используем формулу корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / (2a)

x1 = (-1 + √(1 + 4sin^4a)) / 2 x2 = (-1 - √(1 + 4sin^4a)) / 2

Теперь вернемся к исходному выражению:

cos^2a + sin^4a + cos^2asin^2a

Заменим cos^2a на x:

x + sin^4a + xasin^2a

Теперь подставим найденные значения x:

(-1 + √(1 + 4sin^4a))/2 + sin^4a + (-1 + √(1 + 4sin^4a))/2 * sin^2a

Таким образом, мы получили упрощенное выражение для заданного выражения (а).

б) Упростим выражение 1/(1+tg^2a) - 1/(1+ctg^2a).

Вспомним определения тангенса и котангенса: tg a = sin a / cos a и ctg a = cos a / sin a.

Подставим эти определения в выражение: 1 / (1 + (sin a / cos a)^2) - 1 / (1 + (cos a / sin a)^2)

Упростим знаменатели: 1 / (1 + sin^2 a / cos^2 a) - 1 / (1 + cos^2 a / sin^2 a)

Распишем каждую дробь по общему знаменателю: (cos^2 a) / (cos^2 a + sin^2 a) - (sin^2 a) / (sin^2 a + cos^2 a)

Упростим числитель первой дроби и заменим cos^2 a + sin^2 a на 1: cos^2 a - sin^2 a

Аналогично упростим числитель второй дроби и заменим cos^2 a + sin^2 a на 1: sin^2 a - cos^2 a

Теперь вычтем вторую дробь из первой: (cos^2 a - sin^2 a) - (sin^2 a - cos^2 a)

Раскроем скобки: cos^2 a - sin^2 a - sin^2 a + cos^2 a

Сократим соседние одинаковые слагаемые: cos^2 a - sin^2 a - sin^2 a + cos^2 a

Остается: 2cos^2 a - 2sin^2 a

Это и есть упрощенное выражение для заданного выражения (б).