Question

1. Показать,что функция F(x)=e^2x+x^3-cos x является первообразной для функции f(x)=2e^2x+3x^2+sin x на всей числовой прямой. 2. Для функции f(x)=3x^2+2x-3 найти первообразную,график которой проходит через точку М(1;-2). 3. Найти площадь фигуры ограниченной: 1) параболой y=x^2+x-6 и осью Ох; 2) графиками функций y=x^2+1 и y=10

Answer 1

1.  $F(x)=e^{2x}+x^3-cos x$  и $f(x)=2e^{2x}+3x^2+sin x$, x∈R
Проверка будет состоять в нахождении производной F'(x).

$F'(x)=2e^{2x}+3x^2+ sin x = f(x)$

Что и требовалось показать.

2. $f(x)=3x^2+2x-3$ и $M (1;-2)$
Найдём первообразную, подставим туда координаты точки М и найдём константу.

$F(x) = \int\limits { f(x)} \, dx = \int\limits {(3x^2+2x-3)} \, dx= x^3+x^2-3x + C \\ \\ F(1) = 1^3+1^2-3*1 + C = -2 \\ \\ -1 + C = -2 \\ \\ C = -1$

Итак, искомая первообразная такая:

$F(x) = x^3+x^2-3x -1$

3. 1) Дана парабола $y=x^2+x-6$ и прямая y = 0 (ось Ох).
Найдём точки пересечения параболы с прямой.
$y=x^2+x-6 = 0 \\ \\ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 -4*1*(-6)} }{2*1} = \frac{-1 \pm 5}{2} \\ \\ x_1 = -3; \:\:\:\:\: x_2 = 2$
Итак, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках. А т.к. ветви параболы направлены вверх, то вершина параболы находится ниже оси Ох. Вот нам и надо найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс между точками х= -3 и х= 2.
$S = \int\limits^2_{-3} {(x^2+x-6)} \, dx = ( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} -6x)|^2_{-3} = \\ \\ = \frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} -6*2 - \frac{(-3)^3}{3} - \frac{(-3)^2}{2} +6*(-3)) = \\ \\ = \frac{8}{3} +2 -12 +9 - \frac{9}{2} -18 = -19 + \frac{16}{6} - \frac{27}{6} = \\ \\ = -19 - \frac{11}{6} = -20 \frac{5}{6}$
Площадь получилась отрицательной, т.к. фигура находится ниже оси абсцисс.

3. 2) Дана парабола $y=x^2+1$ и прямая $y= 10$.
Найдём точки пересечения параболы с прямой.
$y=x^2+1 = 10 \\ \\ x^2 = 9 \\ \\ x = \pm 3$
Вершина параболы в точке (0; 1):
$x = - \frac{0}{2*1} =0 \\ \\ y = 0^2 + 1 = 1$
Это означает, что интегрированием параболы от минус 3 до плюс 3 мы найдём площадь под параболой до оси абсцисс. А нам надо найти площадь между заданными функциями. Поэтому находим площадь прямоугольника, ограниченного координатами по иксу от минус трёх до плюс трёх, а по игреку от 0 до 10. Эта площадь равна [3 - (-3)] * 10 = 60.
А затем вычтем из площади прямоугольника площадь фигуры под параболой. Остаётся найти площадь этой фигуры:
$\int\limits^3_{-3} {(x^2+1)} \, dx = ( \frac{x^3}{3} +x)|^3_{-3} = \frac{3^3}{3} +3 -\frac{(-3)^3}{3} -(-3)= \\ \\ = 9 +3+9+3 = 24$
Вот теперь можем вычислить искомую площадь 60 - 24 = 36.

Answer 2

1. Для показания, что функция F(x) = e^(2x) + x^3 - cos(x) является первообразной для функции f(x) = 2e^(2x) + 3x^2 + sin(x) на всей числовой прямой, давайте найдем производную F(x) и убедимся, что она равна f(x).

Найдем производную F(x):

F'(x) = (d/dx)(e^(2x)) + (d/dx)(x^3) - (d/dx)(cos(x))

F'(x) = 2e^(2x) + 3x^2 + sin(x)

Теперь мы видим, что производная F(x) равна f(x), поэтому F(x) является первообразной для f(x) на всей числовой прямой.

2. Чтобы найти первообразную функции f(x) = 3x^2 + 2x - 3, проходящую через точку М(1, -2), мы должны добавить произвольную постоянную C к выражению, полученному из интегрирования f(x):

F(x) = ∫(3x^2 + 2x - 3) dx = x^3 + x^2 - 3x + C

Теперь, чтобы найти значение постоянной C, используем условие, что F(1) = -2:

-2 = 1^3 + 1^2 - 3*1 + C -2 = 1 + 1 - 3 + C C = -2 - 1 + 3 C = 0

Итак, первообразная функции f(x), проходящая через точку М(1, -2), равна:

F(x) = x^3 + x^2 - 3x

3. Для нахождения площади фигуры, ограниченной указанными графиками, вычислим площадь между ними на соответствующем интервале.

1. Площадь между па