Question

Докажите неравенство a²+b²-6a+2b+10больше или равно 0

Answer 1

a^2 + b^2 - 6*a +2*b +10 = a^2-6a+9 + b^2+2b+1 = (a-3)^2 + (b+1)^2 >=0, так как сумма квадратов, равно как и любой квадрат больше либо равен нуля. Хорошо :)

Answer 2

Для доказательства неравенства a² + b² - 6a + 2b + 10 ≥ 0, мы можем воспользоваться методом завершения квадрата для переменных a и b. Начнем с квадратного трехчлена, который содержит переменные a и b:

a² - 6a + b² + 2b + 10

Теперь проведем процедуру завершения квадрата для a и b. Для этого нам нужно добавить и вычесть определенные константы внутри скобок так, чтобы выделить полные квадраты. Для переменной a мы добавим и вычтем (6/2)² = 9, а для переменной b добавим и вычтем (2/2)² = 1:

a² - 6a + 9 + b² + 2b + 1 + 10 - 9 - 1

Теперь перепишем выражение:

(a² - 6a + 9) + (b² + 2b + 1) + 10 - 9 - 1

Теперь мы имеем полные квадраты:

(a - 3)² + (b + 1)² + 10 - 9 - 1

(a - 3)² + (b + 1)² + 0

Таким образом, исходное неравенство можно переписать как:

(a - 3)² + (b + 1)² + 0 ≥ 0

Полные квадраты всегда неотрицательны, поэтому это неравенство выполняется для всех значений a и b, и можно сказать, что:

a² + b² - 6a + 2b + 10 ≥ 0

Это неравенство выполняется для всех значений a и b.