Question

Пользуясь определением, выведите формулу дифференцирования функции y=корень из 1+х2

Answer 1

$y=\sqrt{1+x^2}$

$y'= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{1+(x+\Delta x)^2} -\sqrt{1+x^2}}{\Delta x} =$

Из левого слоагаемого в числителе выделим множитель $\sqrt{1+x^2}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+\frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{1+x^2}} -\sqrt{1+x^2}}{\Delta x} =$

Т.к. Δx→0, то слагаемым (Δx)² можно принебречь:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+\frac{2x\Delta x}{1+x^2}} -\sqrt{1+x^2}}{\Delta x}$

Разложим корень в ряд Тейлора до первого члена по Δx:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}(1+\frac{1}{2}\frac{2x\Delta x}{1+x^2})-\sqrt{1+x^2}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}(x\Delta x)}{(1+x^2)\Delta x} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2} }$

Answer 2

Для нахождения производной функции $y = \sqrt{1 + x^2}$ можно использовать определение производной. Определение производной функции $f(x)$ в точке $x = a$ выглядит следующим образом:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

В данном случае $f(x) = \sqrt{1 + x^2}$, и мы хотим найти производную в произвольной точке $x$, поэтому будем использовать переменную $a$:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1 + (a + h)^2} - \sqrt{1 + a^2}}{h}$

Теперь мы можем вывести производную функции. Начнем с числителя:

$\sqrt{1 + (a + h)^2} - \sqrt{1 + a^2}$

Чтобы упростить этот числитель, мы можем умножить его на конгруэнтное выражение, чтобы устранить корень в числителе:

$\sqrt{1 + (a + h)^2} - \sqrt{1 + a^2} = \left(\sqrt{1 + (a + h)^2} - \sqrt{1 + a^2}\right) \cdot \frac{\sqrt{1 + (a + h)^2} + \sqrt{1 + a^2}}{\sqrt{1 + (a + h)^2} + \sqrt{1 + a^2}}$

Теперь мы можем использовать разность квадратов в числителе:

$\left(\sqrt{1 + (a + h)^2} - \sqrt{1 + a^2}\right) = \frac{[(1 + (a + h)^2) - (1 + a^2)]}{\sqrt{1 + (a + h)^2} + \sqrt{1 + a^2}}$

Упрощаем числитель:

$(1 + (a + h)^2) - (1 + a^2) = (a^2 + 2ah + h^2) - (a^2) = 2ah + h^2$

Теперь наш числитель выглядит так:

$2ah + h^2$

Теперь мы можем подставить это обратно в формулу для производной:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{2ah + h^2}{h(\sqrt{1 + (a + h)^2} + \sqrt{1 + a^2})}$