Question

Докажите неравенство: (e^x - 1)*ln(1+x)>x^2

Answer 1

Рассмотрим функцию $f(x)=(e^x-1)\ln(x+1)-x^2$.

Область определения функции: $x+1>0$ откуда $x>-1$.

Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Ищем производную функции

$f'(x)=e^x\ln(x+1)+\dfrac{e^x-1}{x+1}-2x=0$

$e^x\ln(x+1)+\dfrac{e^x-1}{x+1}=2x$

Строим график функции стоящую слева в уравнении - возрастающая (на области определения) и прямую $y=2x$. Графики пересекаются только в одной точке (0;0).

(-1)___-____(0)_____+____

При $-1$ производная отрицательная, а при $x>0$ - положительная. Следовательно, функция $f(x)$ на промежутке $x \in (-1;0)$ убывает, а на пром. $x \in (0;+\infty)$ - возрастает. Значит, в точке $x=0$ функция имеет максимум, который равный 0

Следовательно, функция $f(x)$ всюду положительна на области определения и кроме точки $x=0$, получаем

$f(x)>0~~\Rightarrow~~~ (e^x-1)\ln (1+x)-x^2>0~~\Rightarrow~~ (e^x-1)\ln(1+x)>x^2$

Answer 2

Для доказательства данного неравенства воспользуемся разложением в ряд Тейлора:

e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...

Теперь заметим, что при x > 0 все слагаемые в разложении для e^x и ln(1+x) положительны. Поэтому мы можем записать неравенство следующим образом:

(e^x - 1) * ln(1+x) = [(1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...) - 1] * [(x - x^2/2 + x^3/3 - ...)] > x^2

Мы можем отбросить все слагаемые, кроме x^2, поскольку они являются положительными и не влияют на знак неравенства. Также отбросим -1 в первом выражении, так как оно не влияет на знак неравенства. Тогда получим:

x^2 * x > x^2

x^3 > x^2

Так как x > 0, то мы можем поделить обе части неравенства на x^2:

x > 1

Таким образом, мы доказали, что при x > 1 неравенство (e^x - 1) * ln(1+x) > x^2 выполняется.