Question

Помогите решить не могу понять sin^4a+2sin^2a x cos^2a + cos^4a + sin^2a + cos^2a=2

Answer 1

В данном выражении присутствует формула квадрата суммы и основное тригонометрическое тождество:

${(a + b)}^{2} = {a}^{2} + 2ab + {b}^{2} \\ { (\sin(x)) }^{2} + { (\cos(x) )}^{2} = 1$


${( \sin(a) )}^{4} + 2 { (\sin(a) )}^{2} {( \cos(a)) }^{2} + { (\cos(a)) }^{4} + {( \sin(a)) }^{2} + {( (\cos(a)) }^{2} = \\ {( { (\sin(a)) }^{2} + {(( \cos(a)) }^{2} )}^{2} + {( \sin(a)) }^{2} + {( (\cos(a)) }^{2} = 1 + 1 = 2$

Тождество доказано.

Answer 2

Для решения данного уравнения, воспользуемся формулами приведения тригонометрических функций и свойствами степеней:

sin^4a = (sin^2a)^2 cos^4a = (cos^2a)^2 cos^2a = 1 - sin^2a

Подставим данные выражения в исходное уравнение:

(sin^2a)^2 + 2sin^2a + x + (1 - sin^2a) + sin^2a + (1 - sin^2a) = 2

Упростим:

sin^4a + 2sin^2a + x + 1 + 1 = 2

sin^4a + 2sin^2a + x + 2 = 2

sin^4a + 2sin^2a + x = 0

Теперь заметим, что это квадратное уравнение относительно sin^2a. Пусть sin^2a = t, тогда получаем:

t^2 + 2t + x = 0

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

D = (2)^2 - 4*1*x D = 4 - 4x

Для действительных корней, D >= 0:

4 - 4x >= 0

Решим это неравенство:

4x <= 4 x <= 1

Таким образом, получаем, что x <= 1.