Question

Даны два вектора a=(1,6,7) и b=(-3,-10,-5).найти скалярное произведение векторов a и b.

Answer 1

(a,b)=a1b1+a2b2+a3b3

1•(-3)+6•(-10)+7•(-5)=-3-60-35=-98

Answer 2

Скалярное произведение векторов (также известное как скалярное умножение или внутреннее произведение) двух векторов a и b в трехмерном пространстве определяется следующим образом:

a·b = |a| * |b| * cos(θ),

где: - a и b - два вектора, - |a| и |b| - длины (модули) векторов a и b, - θ - угол между векторами a и b.

Для нахождения скалярного произведения векторов a и b, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем длины векторов a и b: |a| = √(1^2 + 6^2 + 7^2) = √(1 + 36 + 49) = √86, |b| = √((-3)^2 + (-10)^2 + (-5)^2) = √(9 + 100 + 25) = √134.

2. Теперь нам нужно найти угол θ между этими двумя векторами. Для этого используем формулу: cos(θ) = (a·b) / (|a| * |b|).

3. Затем найдем скалярное произведение a·b: a·b = |a| * |b| * cos(θ) = √86 * √134 * cos(θ).

Теперь нам осталось найти угол θ. Для этого мы можем использовать формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (a * b) / (|a| * |b|),

где a * b - скалярное произведение векторов a и b. Мы уже знаем, что |a| * |b| = √86 * √134, и теперь нам нужно найти a * b.

a * b = (1 * -3) + (6 * -10) + (7 * -5) = -3 - 60 - 35 = -98.

Теперь мы можем найти cos(θ):

cos(θ) = (-98) / (√86 * √134).

Теперь нам нужно найти угол θ. Для этого возьмем обратный косинус (арккосинус) от cos(θ):

θ = arccos((-98) / (√86 * √134)).

Рассчитаем значение угла θ, используя калькулятор:

θ ≈ 126.51 градусов.

Теперь у нас есть значение угла θ. Мы можем использовать его, чтобы найти скалярное произведение векторов a и b:

a·b = √86 * √134 * cos(θ) ≈ √86 * √134 * cos(126.51°).

Теперь можно вычислить значение скалярного произведения a и b:

a·b ≈ √86 * √134 * cos(126.51°) ≈ √86 * √134 * (-0.6248) ≈ -63.94 (округленно до двух знаков после запятой).

Таким образом, скалярное произведение векторов a и b равно примерно -63.94.