Question

вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.8 найти вероятность того что при 90 испытаниях данное событие появится не более 70 раз

Answer 1

p = 0.8

q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2 - вероятность противоположного события

По интегральной теореме Лапласа-Муавра:

               $P_n(k_1$

где $\Phi(x)$ - функция Лапласа.

$x_1=\dfrac{k_1-np}{\sqrt{npq}}=\dfrac{0-90\cdot0.8}{\sqrt{90\cdot0.8\cdot0.2}}\approx -18.97;$

$x_2=\dfrac{k_2-np}{\sqrt{npq}}=\dfrac{70-90\cdot0.8}{\sqrt{90\cdot0.8\cdot0.2}}\approx -0.53$

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, то вероятность того, что при 90 испытаниях данное событие появится не более 70 раз, равна:

$P_{90}(0$

Ответ: 0,297.

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть серия независимых испытаний (в данном случае 90 испытаний), и вероятность появления события в каждом из них остается постоянной и равна 0.8. Также нам нужно найти вероятность того, что событие появится не более 70 раз.

Формула для вероятности биномиального распределения имеет вид:

P(X = k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где: - P(X = k) - вероятность того, что событие произойдет k раз, - n - общее количество испытаний (в данном случае 90), - k - количество раз, которое событие должно произойти (не более 70 раз), - p - вероятность появления события в каждом отдельном испытании (0.8), - (n choose k) - биномиальный коэффициент, который можно вычислить как C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!).

Теперь давайте рассчитаем вероятность того, что событие произойдет не более 70 раз из 90 испытаний:

P(X ≤ 70) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + ... + P(X = 70).

Мы должны сложить вероятности для k от 0 до 70. Для каждого значения k вычислим вероятность согласно формуле биномиального распределения и сложим их.

P(X ≤ 70) = Σ [P(X = k)] для k от 0 до 70

Теперь мы можем вычислить эту вероятность, используя формулу биномиального распределения для каждого k:

P(X ≤ 70) = Σ [(90 choose k) * 0.8^k * (0.2)^(90-k)] для k от 0 до 70

Это может потребовать много вычислений, поэтому для удобства вычислений можно воспользоваться программой или калькулятором.