Question

Дана вероятность p = 0,3 появления события А в серии из n = 6 независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится: а) ровно k = 3 раз; б) не менее k = 3 раз; в) не менее k1 = 1 раз и не более k2 = 3 раз.

Answer 1

Вероятность q = 1 - p = 1 - 0,3 = 0,7.

По формуле Бернулли: найдем вероятность того, что событие А наступит ровно k = 3 раз:

$P_6(k=3)=C^3_6p^3q^{6-3}=\dfrac{6!}{3!3!}\cdot 0{,}3^3\cdot 0{,}7^3=0{,}18522$

б) Вероятность того, что событие А наступит не менее k = 3 раз, равна:

$P_6(k\geq 3)=1-P_6(k\leq 2)=1-P_6(k=0)-P_6(k=1)-P_6(k=2)=\\ \\ =1-q^6-C^1_6pq^5-C^2_6p^2q^4=1-0{,}7^6-6\cdot0{,}3\cdot0{,}7^5-15\cdot 0{,}3^2\cdot 0{,}7^4=\\ \\ =1-0{,}74431=0{,}25569$

в) Вероятность того, что событие А наступит не менее k1 = 1 раз и не более k2 = 3 раз

$P_6(1\leq k\leq 3)=P_6(k=1)+P_6(k=2)+P_6(k=3)=0{,}302526+\\ \\ +0{,}324135+0{,}18522=0{,}811881$

Answer 2

Для решения этих задач можно использовать биномиальное распределение. Для биномиального распределения с вероятностью успеха p и числом испытаний n вероятность получить k успехов определяется формулой:

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где C(n, k) - число сочетаний из n по k, равное n! / (k!(n-k)!).

а) Чтобы найти вероятность того, что событие A появится ровно 3 раза, мы будем использовать формулу биномиального распределения:

P(X=3) = C(6, 3) * (0.3)^3 * (1-0.3)^(6-3).

Вычислим:

P(X=3) = 20 * (0.3)^3 * (0.7)^3 ≈ 0.3241.

Таким образом, вероятность того, что событие А появится ровно 3 раза в серии из 6 испытаний, составляет около 0.3241.

б) Чтобы найти вероятность того, что событие A появится не менее 3 раз, мы будем суммировать вероятности для k=3, k=4, k=5 и k=6:

P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6).

Вычислим:

P(X≥3) = P(X=3) + C(6, 4) * (0.3)^4 * (0.7)^2 + C(6, 5) * (0.3)^5 * (0.7) + C(6, 6) * (0.3)^6.

P(X≥3) = 0.3241 + 15 * (0.3)^4 * (0.7)^2 + 6 * (0.3)^5 * (0.7) + (0.3)^6 ≈ 0.9829.

Таким образом, вероятность того, что событие А появится не менее 3 раз в серии из 6 испытаний, составляет около 0.9829.

в) Чтобы найти вероятность того, что событие A появится не менее 1 раза и не более 3 раз в серии из 6 испытаний, мы будем суммировать вероятности для k=1, k=2 и k=3:

P(1≤X≤3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3).

Вычислим:

P(1≤X≤3) = C(6, 1) * (0.3)^1 * (0.7)^5 + C(6, 2) * (0.3)^2 * (0.7)^4 + C(6, 3) * (0.3)^3 * (0.7)^3.

P(1≤X≤3) = 6 * (0.3)^1 * (0.7)^5 + 15 * (0.3)^2 * (0.7)^4 + 20 * (0.3)^3 * (0.7)^3 ≈ 0.8369.

Таким образом, вероятность того, что событие А появится не менее 1 раза и не более 3 раз в серии из 6 испытаний, составляет около 0.8369.