Question

Дана вероятность р появления события А в серии из n независимых испытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится: ровно k, не менее k, не менее k1 раз и не более k2 раз. n = 6 p = 0,6 k = 3 k1 = 2 k2 = 4

Answer 1

Ответ:

ровно k: C(n,k)*k*p*(1-p)*(n-k)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Биномиальное распределение описывает вероятность успеха (события А) или неудачи (события, противоположного А) в серии независимых испытаний.

Формула для вероятности того, что событие А произойдет ровно k раз в серии из n испытаний, имеет вид:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где C(n, k) - количество сочетаний из n по k (также известное как биномиальный коэффициент), p - вероятность появления события А в отдельном испытании, и (1-p) - вероятность не появления события А в отдельном испытании.

В вашем случае, когда n = 6, p = 0,6 и k = 3, мы можем вычислить вероятность появления события А ровно 3 раза:

P(X = 3) = C(6, 3) * (0,6)^3 * (1-0,6)^(6-3).

C(6, 3) = 6! / (3! * (6-3)!) = 20.

Теперь давайте подставим значения:

P(X = 3) = 20 * (0,6)^3 * (0,4)^3 = 0,3456.

Таким образом, вероятность того, что событие А появится ровно 3 раза в серии из 6 испытаний, составляет 0,3456.

Аналогичным образом, мы можем вычислить вероятность появления события А не менее k раз:

P(X >= k) = P(X = k) + P(X = k+1) + ... + P(X = n),

где n - общее количество испытаний.

P(X >= 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6).

Теперь вычислим каждую из этих вероятностей:

P(X = 4) = C(6, 4) * (0,6)^4 * (0,4)^2,

P(X = 5) = C(6, 5) * (0,6)^5 * (0,4)^1,

P(X = 6) = C(6, 6) * (0,6)^6 * (0,4)^0.

Подставим значения:

P(X = 4) = 15 * (0,6)^4 * (0,4)^2 = 0,27648,

P(X = 5) = 6 * (0,6)^5 * (0,4)^1 = 0,07776,

P(X = 6) = 1 * (0,6)^6 * (0,4)^0 = 0,04666.

Теперь сложим эти вероятности:

P(X >= 3) = 0,3456 + 0,27648 + 0,07776 + 0,04666 = 0,7465.

Таким образом, вероятность того, что событие А появится не менее 3 раз в серии из 6 испытаний, составляет 0,7465.

Наконец, для вычисления вероятности того, что событие А появится не менее k1 и не более k2 раз, мы можем использовать сумму вероятностей от k1 до k2:

P(k1 <= X <= k2) = P(X = k1) + P(X = k1+1) + ... + P(X = k2).

В вашем случае, k1 = 2 и k2 = 4:

P(2 <= X <= 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4).

Мы уже вычислили P(X = 2) и P(X = 3). Вычислим P(X = 4):

P(X = 4) = 15 * (0,6)^4 * (0,4)^2 = 0,27648.

Теперь сложим эти вероятности:

P(2 <= X <= 4) = 0,1104 + 0,3456 + 0,27648 = 0,73248.

Таким образом, вероятность того, что событие А появится не менее 2 и не более 4 раз в серии из 6 испытаний, составляет 0,73248.