Question

вычислите: sin a, tg a, ctg a, если cos a=1/2 и 3π/2 составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=2x-ln(x+4) в точкес абсцисой x0=-3 вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2-2x+3, x=-1 и y=2x-1

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для начала вычислим значения sin(a), tg(a), и ctg(a), если cos(a) = 1/2.

Зная, что cos(a) = 1/2, мы можем использовать тригонометрическую тождественность sin^2(a) + cos^2(a) = 1, чтобы найти sin(a):

sin(a) = sqrt(1 - cos^2(a)) = sqrt(1 - (1/2)^2) = sqrt(1 - 1/4) = sqrt(3/4) = sqrt(3)/2.

Теперь найдем tg(a) и ctg(a). Используя определения tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = 1 / tg(a), получим:

tg(a) = sin(a) / cos(a) = (sqrt(3)/2) / (1/2) = sqrt(3). ctg(a) = 1 / tg(a) = 1 / sqrt(3) = sqrt(3)/3.

Теперь давайте составим уравнение касательной к графику функции f(x) = 2x - ln(x + 4) в точке с абсциссой x0 = -3.

1. Найдем производную функции f(x):

f'(x) = 2 - 1/(x + 4).

2. Найдем значение производной в точке x0 = -3:

f'(-3) = 2 - 1/(-3 + 4) = 2 + 1 = 3.

3. Теперь мы можем записать уравнение касательной в форме y = mx + b, где m - это значение производной, а b - значение функции в точке:

y = 3x + b.

4. Чтобы найти b, подставим координаты точки x0 = -3, f(-3) = 2*(-3) - ln(-3 + 4) = -6 - ln(1) = -6 в уравнение:

-6 = 3*(-3) + b, -6 = -9 + b.

Теперь найдем b:

b = -6 + 9 = 3.

Итак, уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой x0 = -3:

y = 3x + 3.

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 2x + 3, x = -1 и y = 2x - 1.

1. Сначала найдем точки пересечения этих линий:

Для x = -1: y = (-1)^2 - 2(-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6.

Таким образом, точка (-1, 6) лежит на графике y = x^2 - 2x + 3.

Для y = 2x - 1: 2x - 1 = x^2 - 2x + 3.

Переносим все члены уравнения в одну сторону:

x^2 - 4x + 4 = 0.

Теперь найдем корни этого уравнения:

(x - 2)^2 = 0, x - 2 = 0, x = 2.

Таким образом, точка (2, 3) лежит на графике y = 2x - 1.

2. Теперь мы можем найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Это будет интегралом от разности функций:

Площадь = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

где f(x) = x^2 - 2x + 3, g(x) = 2x - 1, a = -1, и b = 2.

Площадь = ∫[-1, 2] ((x^2 - 2x + 3) - (2x - 1)) dx.

Подынтегральная функция станет:

x^2 - 2x + 3 - 2x + 1 = x^2 - 4x + 4.

Теперь вычислим определенный интеграл:

Площадь = ∫[-1, 2] (x^2 - 4x + 4) dx.

Площадь = [1/3 * x^3 - 2x^2 + 4x] [-1, 2].

Площадь = [1/3 * 2^3 - 22^2 + 42] - [1/3 * (-1)^3 - 2*(-1)^2 + 4*(-1)].

Площадь = [8/3 - 8 + 8] - [-1/3 + 2 - 4].

Площадь = [8/3 + 8] - [-1/3 - 2].

Площадь = 8/3 + 8 + 1/3 + 2.

Площадь = (8/3 + 1/3) + 8 + 2.

Площадь = 9/3 + 10.

Площадь = 3 + 10.

Площадь = 13.

Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 2x + 3, x = -1 и y = 2x - 1, равна 13 квадратным единицам.