Question

Помогите решить неопределённый интеграл ∫＝корень из 4х-5dx ∫＝5dx/(3-7x)^4 ∫＝sin 8x dx

Answer 1

1) ∫√(4x-5)dx
Сделаем замену t = 4x-5, тогда dt=4dx, dx=dt/4
∫√t*dt/4 = 1/4∫t^1/2dt= 1/6*√t^3+C = √(4x-5)³/6 + C
2) 5∫dx/(3-7x)^4
Сделаем замену t=3-7x, тогда dt= -7dx, dx= -dt/7
-5/7∫dt/t^4 = -5/7∫t^ -4 * dt = 5/21*t^ -3 + C = 5/(21*(3-7x)³) + C
3) ∫sin8x dx = - cos 8x + C

Answer 2

1) $\frac{(4x-5)* \sqrt{4x-5} }{6} + C$

2) $\frac{5}{21*( 3-7x)^{3} } + C$

3) $- \frac{cos(8x)}{8} + C$

Answer 3

Давайте рассмотрим каждый из интегралов по отдельности:

1. ∫√(4x - 5) dx:

Чтобы решить этот интеграл, давайте сделаем замену переменной. Пусть u = 4x - 5, тогда du/dx = 4, или dx = du/4. Теперь мы можем записать интеграл в терминах переменной u:

∫√(4x - 5) dx = (1/4) ∫√u du.

Теперь мы интегрируем √u:

(1/4) ∫√u du = (1/4) * (2/3) * u^(3/2) + C,

где C - постоянная интеграции. Теперь вернемся к исходной переменной x, используя u = 4x - 5:

(1/4) * (2/3) * (4x - 5)^(3/2) + C.

2. ∫5dx/(3-7x)^4:

Этот интеграл выглядит как интеграл от рациональной функции. Давайте используем метод частных дробей. Первое, что нам нужно сделать, это разложить (3-7x)^4 на простейшие дроби. Мы знаем, что (3-7x)^4 = (a/(3-7x)) + (b/(3-7x)^2) + (c/(3-7x)^3) + (d/(3-7x)^4), где a, b, c и d - неизвестные коэффициенты.

Сначала домножим обе стороны на (3-7x)^4, чтобы избавиться от знаменателя:

5 = a(3-7x)^3 + b(3-7x)^2 + c(3-7x) + d.

Теперь мы можем найти неизвестные коэффициенты, например, подставив значения x, которые упростят уравнение. Если подставить x = 3/7, то второе, третье и четвертое слагаемые будут равны нулю, и уравнение упростится до:

5 = a(0)^3 + b(0)^2 + c(3-7*(3/7)) + d.

5 = -4c + d.

Отсюда получаем d = 5 + 4c.

Теперь подставим x = 0, чтобы найти значение a:

5 = a(3-70)^3 + b(3-70)^2 + c(3-7*0) + d, 5 = 27a + 9b + 3c + d.

Теперь подставим x = 1/7:

5 = a(3-7*(1/7))^3 + b(3-7*(1/7))^2 + c(3-7*(1/7)) + d, 5 = 125a + 25b + 5c + d.

Теперь выразим a, b и c через d:

a = (5 + 4c - d)/27, b = (5 - 3c - d)/9, c = (5 - 4d)/5.

Теперь мы можем вернуться к исходному интегралу:

∫5dx/(3-7x)^4 = ∫(a/(3-7x) + b/(3-7x)^2 + c/(3-7x)^3 + d/(3-7x)^4) dx = a∫(1/(3-7x)) dx + b∫(1/(3-7x)^2) dx + c∫(1/(3-7x)^3) dx + d∫(1/(3-7x)^4) dx.

Теперь вычислим каждый из этих интегралов по отдельности:

∫(1/(3-7x)) dx = (1/7)ln|3-7x| + C1, ∫(1/(3-7x)^2) dx = (-1/49)(3-7x)^(-1) + C2, ∫(1/(3-7x)^3) dx = (1/147)(3-7x)^(-2) + C3, ∫(1/(3-7x)^4) dx = (-1/441)(3-7x)^(-3) + C4.

Теперь подставим выражения для a, b, c и d:

∫5dx/(3-7x)^4 = (a/7)ln|3-7x| + (b/49)(3-7x)^(-1) + (c/147)(3-7x)^(-2) + (d/441)(3-7x)^(-3) + C, = [(5 + 4c - d)/(727)]ln|3-7x| + (5 - 3c - d)/(49*9)^(-1) + (5 - 4d)/(147*5)^(-2) + (5 + 4c - d)/(441*27)^(-3) + C, = [5 + 4c - d][(ln|3-7x|)/(727)] + [5 - 3c - d][(3-7x)^(-1)/(499)] + [5 - 4d][(3-7x)^(-2)/(1475)] + [5 + 4c - d][(3-7x)^(-3)/(441*27)] + C.

Это и есть интеграл ∫5dx/(3-7x)^4 в виде конечной формулы.

3. ∫sin(8x) dx:

Для интеграла ∫sin(8x) dx можно воспользоваться методом интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле: ∫u dv = uv - ∫v du.

Выберем u и dv следующим образом:

u = sin(8x) => du = 8cos(8x)dx, dv = dx => v = x.

Теперь применяем формулу интегрирования по частям:

∫sin(8x) dx = uv - ∫v du = xsin(8x) - ∫x8cos(8x)dx.

Теперь интегрируем второй член справа, используя интегрирование по частям еще раз:

∫x*8cos(8x)dx.

Выбираем новые u и dv:

u = x => du = dx, dv = 8cos(8x)dx => v = 8sin(8x).

Применяем формулу интегрирования по частям еще раз:

∫x8cos(8x)dx = uv - ∫v du = x8sin(8x) - ∫8sin(8x)dx = 8xsin(8x) + 8∫sin(8x)dx.

Теперь вернемся к исходному интегралу:

∫sin(8x) dx = x*sin(8x) - (8xsin(8x) - 8∫sin(8x)dx).

Теперь выразим ∫sin(8x) dx:

∫sin(8x) dx = x*sin(8x) - 8xsin(8x) + 8∫sin(8x)dx.

Теперь переносим 8∫sin(8x)dx влево:

7∫sin(8x)dx = x*sin(8x) - 8xsin(8x).

Делим обе стороны на 7:

∫sin(8x)dx = (1/7)(x*sin(8x) - 8xsin(8x)) + C.

Теперь у вас есть окончательное выражение для интеграла ∫sin(8x) dx.