Question

Решите уравнение. Cos 3x cos 5x - sin 3x sin 5x = √2/2

Answer 1

Решение приложено к снимку

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и воспользуемся тригонометрической идентичностью для разности углов:

cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)

В данном случае, α = 3x и β = 5x, и у нас есть:

cos(3x - 5x) = cos(-2x)

Используя указанную идентичность, мы можем переписать уравнение следующим образом:

cos(3x - 5x) = cos(3x)cos(5x) + sin(3x)sin(5x)

Теперь у нас есть:

cos(-2x) = cos(3x)cos(5x) + sin(3x)sin(5x)

Известно, что cos(-2x) = cos(2x), так как косинус является четной функцией. Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом:

cos(2x) = cos(3x)cos(5x) + sin(3x)sin(5x)

Теперь используем формулу синуса для разности углов:

sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)

где α = 3x и β = 5x:

sin(3x - 5x) = sin(3x)cos(5x) - cos(3x)sin(5x)

sin(-2x) = sin(3x)cos(5x) - cos(3x)sin(5x)

Известно, что sin(-2x) = -sin(2x), так как синус является нечетной функцией:

-sin(2x) = sin(3x)cos(5x) - cos(3x)sin(5x)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. cos(2x) = cos(3x)cos(5x) + sin(3x)sin(5x)
2. -sin(2x) = sin(3x)cos(5x) - cos(3x)sin(5x)

Для решения этой системы уравнений мы можем воспользоваться методом сложения углов, чтобы преобразовать произведения тригонометрических функций в суммы или разности. Однако этот процесс довольно сложен и может привести к уравнению высокой степени, которое не всегда имеет аналитическое решение. В этом случае, для нахождения численного решения, можно воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод бисекции.