Question

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями y = x² и y = x​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y = x² и y = x:

x² = x

x² - x = 0

x(x - 1) = 0

x = 0 или x = 1

Таким образом, криволинейная трапеция ограничена вертикальными прямыми x = 0 и x = 1.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется следующим образом:

S = ∫(a to b) (f(x) - g(x)) dx,

где a и b - пределы интегрирования, f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция.

В нашем случае:

S = ∫(0 to 1) (x² - x) dx.

Вычислим интеграл:

S = (1/3)x³ - (1/2)x² | (0 to 1)

S = [(1/3)(1)³ - (1/2)(1)²] - [(1/3)(0)³ - (1/2)(0)²]

S = (1/3 - 1/2) - (0 - 0) = 1/6.

Полученная площадь криволинейной трапеции равна 1/6

Answer 2

Для вычисления площади криволинейной трапеции между кривыми y = x² и y = x, нам нужно определить точки их пересечения и найти пределы интегрирования. Пересечение происходит, когда x² = x, или x(x - 1) = 0. Это дает две точки пересечения: x = 0 и x = 1.

Теперь мы можем написать интеграл для вычисления площади криволинейной трапеции:

$S = \int_{0}^{1} (y_2 - y_1) dx$

где $y_2$ - это верхняя кривая y = x, и $y_1$ - это нижняя кривая y = x².

Теперь заменяем y в интеграле:

$S = \int_{0}^{1} (x - x^2) dx$

Выполним интегрирование:

$S = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}$

Теперь вычислим значение интеграла:

$S = \left(\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}\right) - \left(\frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Таким образом, площадь криволинейной трапеции между кривыми y = x² и y = x равна $\frac{1}{6}$ квадратных единиц (или квадратных любых других единиц измерения, если x и y имеют единицы измерения).