Question

Найти производную функции: а)y = -2x sin x б)y = (2x - 3x^2)/(3x-4) в)y = 2(3x^5 - x)^6 Наибольшее и наименьшее значения функции y = (4/x)+x на отрезке [1;3]

Answer 1

А)   y= -2xsinx      y'=(-2x)'*sinx+(-2x)sin'x= -2sinx-2xcosx

b) y'= 1/(3x-4)²*F
F=[(2-6x)(3x-4)-(2x-3x²)(3)]=6x-18x²-8+24x-6x+9x² = -9x²+24x-8

c) y'= 6*2*(3x⁵-x)⁵ *(15x⁴-1)

-------------------
4/x+x  [1;3]

y'= -4/x²+1   y'=0   4/x²=1   x²=4    x=2   x= -2 вне отрезка

x=1   y=4+1=5
x=2   y=2+2=4
x=3   y=4/3+3 = 4 1/3

наибольшее значение 5    наименьшее  4

Answer 2

1. Производные функций:

a) $y = -2x \sin x$: Для нахождения производной этой функции применим правило производной произведения. Первая функция: $-2x$, производная которой равна $-2$. Вторая функция: $\sin x$, производная которой равна $\cos x$. Используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (-2 \cdot \sin x) + (-2x \cdot \cos x)$

b) $y = \frac{2x - 3x^2}{3x - 4}$: Для нахождения производной этой функции применим правило дифференцирования частного. Первая функция: $2x - 3x^2$, производная которой равна $2 - 6x$. Вторая функция: $3x - 4$, производная которой равна $3$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(2 - 6x)(3x - 4) - (2x - 3x^2)(3)}{(3x - 4)^2}$

c) $y = 2(3x^5 - x)^6$: Применим цепное правило (chain rule) для функции вида $(u(v(x)))'$. Первая функция: $u(v) = v^6$, производная которой равна $6v^5$, где $v = 3x^5 - x$. Производная внутренней функции $v$ равна $15x^4 - 1$. Теперь умножим производную внешней функции на производную внутренней функции:

$y' = 6(3x^5 - x)^5(15x^4 - 1)$

2. Наибольшее и наименьшее значения функции $y = \frac{4}{x} + x$ на отрезке $[1, 3]$:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке $[1, 3]$, найдем критические точки, которые соответствуют нулю производной функции. Сначала найдем производную функции $y = \frac{4}{x} + x$:

$y' = -\frac{4}{x^2} + 1$

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-\frac{4}{x^2} + 1 = 0$

Решение этого уравнения дает $x = 2$. Теперь проверим значения функции в критической точке и на концах отрезка $[1, 3]$:

• $x = 1: y = 4 + 1 = 5$
• $x = 2: y = 2$
• $x = 3: y = \frac{4}{3} + 3 \approx 4.33$

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[1, 3]$ равно 2 (достигается в точке $x = 2$), а наибольшее значение равно 5 (достигается в точке $x = 1$).