Question

. Доказать, что функция является периодической с периодом Τ, если y=cos⁡ x/2 ⁡Τ=4π.

Answer 1

Прежде нужно понимать, что функция cos(v) это 2п периодическая функция, то есть что для любого v
cos(v+2п) = cos(v).
Тогда для любого икса:
y = cos(x/2) = cos( (x+4п)/2 ) = cos( (x/2) + (4п/2) ) = cos( (x/2) + 2п ) =
= cos(x/2).

Answer 2

Для доказательства того, что функция $y = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$ является периодической с периодом $T = 4\pi$, нужно показать, что она удовлетворяет условию периодичности:

$y(x + T) = y(x)$

В данном случае, $T = 4\pi$, поэтому мы должны показать, что:

$\cos\left(\frac{x + 4\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$

Чтобы доказать это, используем тригонометрическое тождество для косинуса:

$\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$

В нашем случае, $a = \frac{x}{2}$ и $b = 2\pi$, так что:

$\cos\left(\frac{x}{2} + 2\pi\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)\cos(2\pi) - \sin\left(\frac{x}{2}\right)\sin(2\pi)$

Так как $\cos(2\pi) = 1$ и $\sin(2\pi) = 0$, у нас остается:

$\cos\left(\frac{x}{2} + 2\pi\right) = \cos\left(\frac{x}{2}\right) \cdot 1 - \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot 0 = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$

Таким образом, мы показали, что $y(x + 4\pi) = y(x)$, что подтверждает периодичность функции $y = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$ с периодом $T = 4\pi$.