Question

Знайти площу фігури обмеженої графіком функції y=4-x^2та прямими y=2-x

Answer 1

Вiдповiдь 4,5. Див розв. язок

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої графіком функції y = 4 - x^2 та прямими y = 2 - x, спочатку ми повинні знайти точки перетину цих двох функцій. Тобто, ми повинні знайти значення x, для яких y = 4 - x^2 дорівнює y = 2 - x.

Спочатку вирішимо це рівняння:

4 - x^2 = 2 - x

Тепер приведемо його до стандартного квадратного рівняння:

x^2 - x - 2 = 0

Тепер ми можемо вирішити це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня:

x = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4(1)(-2))) / (2(1))

x = (1 ± √(1 + 8)) / 2

x = (1 ± √9) / 2

x = (1 ± 3) / 2

Тепер знайдемо дві значення x:

1. x = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2
2. x = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1

Отже, у нас є дві точки перетину: x = 2 та x = -1.

Тепер ми можемо знайти відповідні значення y для цих точок, використовуючи обидва рівняння:

Для x = 2: y = 4 - 2^2 = 4 - 4 = 0

Для x = -1: y = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3

Отже, ми маємо дві точки перетину: (2, 0) і (-1, 3).

Тепер нам треба знайти площу фігури, обмеженої графіком функції y = 4 - x^2, прямою y = 2 - x та віссю x від x = -1 до x = 2. Це можна зробити, використовуючи інтеграл:

S = ∫[a, b] [f(x) - g(x)] dx

де a і b - це межі інтегрування, f(x) - верхня функція (у нашому випадку y = 4 - x^2), g(x) - нижня функція (у нашому випадку y = 2 - x).

a = -1, b = 2, f(x) = 4 - x^2, g(x) = 2 - x

S = ∫[-1, 2] [(4 - x^2) - (2 - x)] dx

S = ∫[-1, 2] [2 + x - x^2] dx

Тепер знайдемо інтеграл:

S = [2x + (x^2 / 2) - (x^3 / 3)]|[-1, 2]

S = [2(2) + (2^2 / 2) - (2^3 / 3)] - [2(-1) + ((-1)^2 / 2) - ((-1)^3 / 3)]

S = [4 + 2 - (8 / 3)] - [-2 + 0 + (1 / 3)]

S = (6 - 8/3) - (-2 + 1/3)

S = (18/3 - 8/3) + (6/3 - 2/3)

S = (10/3) + (4/3)

S = 14/3

Отже, площа фігури, обмеженої графіком функції y = 4 - x^2, прямою y = 2 - x та віссю x від x = -1 до x = 2, дорівнює 14/3 квадратних одиниць.