Question

Интеграл ∫(5х^4-4х^3+8х^7+2х+3)dx ∫(4^2x•5^3x•1/6^2x)dx

Answer 1

$1)\; \; \int (5x^4-4x^3+8x^7+2x+3)dx=\\\\=\frac{5x^5}{5}-\frac{4x^4}{4}+\frac{8x^8}{8}+\frac{2x^2}{2}+3x+C=x^5-x^4+x^8+x^2+3x+C\\\\2)\; \; \int \frac{4^{2x}+5^{3x}}{6^{2x}}dx=\int \frac{16^{x}\cdot 125^{x}}{36^{x}}dx=\int (\frac{2000}{36})^{x}dx=\int (\frac{500}{9})^{x}dx=\\\\=\frac{(\frac{500}{9})^{x}}{ln(500/9)}+C= \frac{1}{ln500-ln9}\cdot (\frac{500}{9})^{x}+C$

Answer 2

Давайте посчитаем каждый из этих интегралов.

1. ∫(5x^4 - 4x^3 + 8x^7 + 2x + 3)dx:

Для нахождения интеграла от этой функции, мы будем использовать степенные правила интегрирования.

∫(5x^4 - 4x^3 + 8x^7 + 2x + 3)dx = (5/5)x^5 - (4/4)x^4 + (8/8)x^8 + (2/2)x^2 + 3x + C,

где C - произвольная постоянная.

Упростим это:

x^5 - x^4 + x^8 + x^2 + 3x + C.

2. ∫(4^2x * 5^3x * 1/6^2x)dx:

Для нахождения этого интеграла, мы можем воспользоваться свойством степеней и правилами интегрирования.

∫(4^2x * 5^3x * 1/6^2x)dx = ∫(16x * 125x * 1/36x)dx.

Мы можем объединить числители и знаменатель:

∫(16 * 125 * 1/36 * x * x * 1/x)dx = (16 * 125 * 1/36) ∫(x)dx.

Теперь выполним интегрирование:

(16 * 125 * 1/36) * (1/2)x^2 + C,

где C - произвольная постоянная.

Упростим это:

(16 * 125 * 1/36 * 1/2)x^2 + C.

Теперь у нас есть результаты интегрирования обоих выражений:

1. Интеграл от (5x^4 - 4x^3 + 8x^7 + 2x + 3)dx: x^5 - x^4 + x^8 + x^2 + 3x + C.
2. Интеграл от (4^2x * 5^3x * 1/6^2x)dx: (16 * 125 * 1/36 * 1/2)x^2 + C.