Question

Интеграл (x^2+1)/(x+1) dx

Answer 1

$\int\limits { \frac{x^2+1}{x+1} } \, dx= \int\limits { \frac{x^2-1^2+2}{x+1} } \, dx = \int\limits {\frac{(x-1)(x+1)+2}{x+1}} \, dx= \int\limits {(x-1)} \, dx+ \int\limits{\frac{2}{x+1} } \, dx\\= \int\limits {x} \, dx-\int\limits {1} \, dx+2\int\limits {(x+1)^{-1}} \, dx= \frac{x^2}{2}-x+2ln|x+1|+C$

Answer 2

Чтобы решить данный интеграл, вы можете воспользоваться методом долгого деления или методом частичной дроби. Давайте воспользуемся методом частичной дроби.

Интеграл имеет вид:

∫((x^2 + 1)/(x + 1)) dx

Сначала разложим дробь на частичные дроби:

(x^2 + 1)/(x + 1) = A*x + B

Чтобы найти значения A и B, умножим обе стороны на (x + 1) и затем подставим различные значения x:

x^2 + 1 = (Ax + B)(x + 1)

Теперь раскроем скобки:

x^2 + 1 = A*x^2 + (A + B)*x + B

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:

1. A = 1 (коэффициент при x^2)
2. A + B = 0 (коэффициент при x)

Из первого уравнения следует, что A = 1. Подставим это значение во второе уравнение:

1 + B = 0 B = -1

Теперь мы знаем значения A и B, и можем записать интеграл в виде частичных дробей:

(x^2 + 1)/(x + 1) = 1*x - 1

Теперь интегрируем каждую из частей по отдельности:

∫(x - 1) dx = (1/2)*x^2 - x + C

Где C - произвольная постоянная интеграции.

Итак, интеграл (x^2 + 1)/(x + 1) dx равен:

(1/2)*x^2 - x + C, где C - произвольная постоянная.