Question

Найдите площадь фигуры ограниченной осью Ох и параболой у=-х^2+3х-2

Answer 1

Дана парабола у=-х^2+3х-2.
Находим точки пересечения с осью Ох (при этом у = 0).
-х^2+3х-2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=3^2-4*(-1)*(-2)=9-4*(-1)*(-2)=9-(-4)*(-2)=9-(-4*(-2))=9-(-(-4*2))=9-(-(-8))=9-8=1;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√1-3)/(2*(-1))=(1-3)/(2*(-1))=-2/(2*(-1))=-2/(-2)=-(-2/2)=-(-1)=1;x_2=(-√1-3)/(2*(-1))=(-1-3)/(2*(-1))=-4/(2*(-1))=-4/(-2)=-(-4/2)=-(-2)=2.

Теперь можно определить площадь:
$S= \int\limits^2_1 {(-x^2+3x-2)} \, dx = \frac{-x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}-2x|_1^2.$ =1/6.

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной осью OX и параболой у = -x^2 + 3x - 2, нужно вычислить определенный интеграл функции этой параболы на заданном интервале. В данном случае, фигура будет ограничена параболой и осью OX, а значит, она находится в верхней полуплоскости.

Сначала найдем точки пересечения параболы с осью OX, то есть значения x, при которых у = 0:

• у = -x^2 + 3x - 2 = 0

Для нахождения корней этого уравнения, мы можем воспользоваться квадратным уравнением:

• x^2 - 3x + 2 = 0

Решая это уравнение, получим два корня: x1 = 1 и x2 = 2

Итак, фигура ограничена параболой на интервале от x1 = 1 до x2 = 2.

Теперь мы можем вычислить определенный интеграл параболы на этом интервале, чтобы найти площадь фигуры: $S = \int_{1}^{2}(-x^2 + 3x - 2)dx$

Вычислим этот интеграл: $S = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x\right]_{1}^{2}$

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования: $S = \left[-\frac{2^3}{3} + \frac{3(2)^2}{2} - 2(2)\right] - \left[-\frac{1^3}{3} + \frac{3(1)^2}{2} - 2(1)\right]$

$S = \left[-\frac{8}{3} + \frac{12}{2} - 4\right] - \left[-\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2\right]$

Теперь вычислим значения в скобках: $S = \left[-\frac{8}{3} + 6 - 4\right] - \left[-\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2\right]$

$S = \left[-\frac{8}{3} + \frac{18}{3} - \frac{12}{3}\right] - \left[-\frac{1}{3} + \frac{9}{6} - \frac{12}{6}\right]$

$S = \left[\frac{10}{3}\right] - \left[-\frac{1}{3}\right]$

$S = \frac{11}{3}$

Итак, площадь фигуры, ограниченной осью OX и параболой у = -x^2 + 3x - 2 на интервале от x = 1 до x = 2, равна 11/3 квадратных единиц.